Точные асимптотики вероятностей больших уклонений для цепей Маркова: метод Лапласа

Доказаны результаты о точных асимптотиках при $n \to \infty$ для средних $\mathsf{E}_a \exp\bigl\{-\theta\sum_{k=0}^{n-1} g(X_k)\bigr\}$ и вероятностей $\mathsf{P}_a\bigl\{\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}g(X_k)<d\bigr\}$, где $X_n=X_0+\sum_{k=1}^n \xi_k$, $n \geqslant 1$, – соответствующее случайное блуждание на $\mathbb{R}$, $\{\xi_k\}_{k=1}^\infty$ – последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, имеющих распределение Лапласа, $g(x)$ – непрерывная положительная функция, удовлетворяющая некоторым условиям, и $d > 0$, $\theta > 0$, $a \in \mathbb{R}$ – заданные числа. Результаты получены на основе развитого в статье нового метода – метода Лапласа для времени пребывания марковских цепей с дискретным временем. В качестве функции $g(x)$ можно брать функции $|x|^p$, $\log(|x|^p+1)$, $p > 0$, $|x| \log(|x|+1)$, $e^{\alpha |x|}-1$, $0< \alpha<1/2$, $x\in\mathbb{R}$, и другие. Подробно рассмотрен пример с функцией $g(x)=|x|$, в котором проведены явные вычисления с привлечением функций Бесселя.
Библиография: 44 наименования.