О сопряженности измеримых разбиений относительно нормализатора полной эргодической группы типа $\mathrm{II}_1$

Пусть $G$ – счетная эргодическая группа автоморфизмов пространства с мерой $(X,\mu)$ и $\mathcal{N}[G]$ – нормализатор ее полной группы $[G]$. Проблема: когда для пары измеримых разбиений $\xi$ и $\eta$ пространства $X$ существует такой элемент $g\in\mathcal{N}[G]$, что $g\xi=\eta$? Для широкого класса измеримых разбиений приводится решение этой задачи в случае, когда $G$ – аппроксимативно конечная группа с конечной инвариантной мерой. Как следствие получены результаты о сопряженности соответствующих $\xi$ и $\eta$ коммутативных подалгебр в факторе типа $\mathrm{II}_1$, построенном по траекторному разбиению группы $G$.