Векторные инварианты симметрических групп в случае поля простой характеристики

Пусть $R$ — коммутативное кольцо с единичным элементом 1 и $S_n$ — симметрическая группа степени $n\geq1$. Обозначим $A_{mn}^{S_n}$ подалгебру инвариантов алгебры полиномов
$$A_{mn}=R[x_{11},\dots,x_{1n};\dots;x_{m1},\dots,x_{mn}]$$
относительно $S_n$. Согласно классическому результату Г. Вейля, если каждое не равное нулю целое число обратимо в $R$, то алгебра $A_{mn}^{S_n}$ порождается поляризованными элементарными симметрическими полиномами степеней, не превосходящих $n$, вне зависимости от величины $m$. Как недавно было доказано Ричменом, этот результат остается справедливым, если число $|S_{n}|=n!$ обратимо в $R$. С другой стороны, для случая, когда $R$ — поле простой характеристики $p\leq n$, Ричменом доказано, что каждая система образующих $R$-алгебры $A_{mn}^{S_n}$, содержит элемент, степень которого не меньше, чем $\max\{n,(m+p-n)/(p-1)\}$. Из этого результата следует, что предложенная Вейлем оценка сверху степеней порождающих элементов перестает быть верной в случае, когда характеристика $p$ поля $R$ делит $|S_n|$. В общем случае доказано, что для произвольного коммутативного кольца $R$ алгебра $A_{mn}^{S_n}$ порождается инвариантами степени, не превосходящей $\max\{n,mn(n-1)/2\}$. Цель этой статьи состоит в том, чтобы дать простое арифметическое доказательство первого результата Ричмена и усилить его второй результат, также используя новые арифметические аргументы. Независимо аналогичное усиление результата Ричмена о нижняя оценке было предложено Кемпером с использованием другого подхода. Недавний результат Флейшмана показывает, что полученная в статье нижняя оценка является точной, если $m>1$ и $n=p^\alpha$, где $p$ — простое число.