Характеризация дистрибутивных решеток квазимногообразий унаров

Пусть $L_q(\mathfrak{M})$ означает решетку всех подквазимногообразий квазимногообразия $\mathfrak{M}$ относительно включения. Существует глубокая взаимосвязь между свойствами решетки $L_q(\mathfrak{M})$ и алгебраических систем из $\mathfrak{M}$. Впервые на этот факт обратил внимание А. И. Мальцев в докладе на Международном конгрессе математиков в 1966 году в Москве.
В данной работе получена характеризация класса всех дистрибутивных решеток, каждая из которых изоморфна решетке $L_q (\mathfrak{M})$ всех подквазимногообразий некоторого квазимногообразия унаров $\mathfrak{M}$.
Унаром называется алгебра с одной унарной операцией. Очевидно, что любой унар можно рассматривать как автомат с одним входным сигналом без выходных сигналов, либо – как полигон над циклической полугруппой. В работе построены частично упорядоченные множества $P_{\infty}$ и $P_s (s\in{\mathbf{N}_0})$, где ${\mathbf{N}_0}$ означает множество всех неотрицательных целых чисел. Далее доказано, что дистрибутивная решетка $L$ изоморфна решетке $L_q (\mathfrak{M})$ для некоторого квазимногообразия унаров $\mathfrak{M}$ тогда и только тогда, когда она изоморфна некоторому главному идеалу одной из решеток $O(P_s) (s\in{\mathbf{N}_0})$ или $O_c(P_{\infty})$, где $O(P_s) (s\in{\mathbf{N}_0})$ – решетка идеалов частично упорядоченного множества $P_s (s\in{\mathbf{N}_0})$ и $O_c(P_{\infty})$ – решетка идеалов с выделенным элементом $c$ частично упорядоченного множества $P_{\infty}$.
Доказательство основной теоремы существенно опирается на описание $\mathrm{Q}$-критических унаров. Конечно порожденная алгебра называется $\mathrm{Q}$-критической, если она не разлагается в подпрямое произведение своих собственных подалгебр. Ранее было установлено, что каждое квазимногообразие унаров определяется своими $\mathrm{Q}$-критическими унарами. Этот факт часто используется для исследования квазимногообразий унаров.