Нули функции Дэвенпорта–Хейлбронна в коротких промежутках критической прямой

Дэвенпорт и Хейльбронн ввели функцию $f(s)$ и показали, что $f(s)$ удовлетворяет функциональному уравнению римановского типа, однако для $f(s)$ гипотеза Римана не выполняется, и более того, число нулей $f(s)$ в области $Re s>1$, $0<Im s\leq T$ превосходит $cT$, $c>0$ — абсолютная постоянная. С.М. Воронин доказал, что тем не менее, критическая прямая $Res=\frac12$ является исключительным множеством для нулей $f(s)$, то есть для $N_0(T)$ — числа нулей $f(s)$ на отрезке $Re s=1/2$, $0<Im s\le T$ имеет место оценка $N_0(T)>cT \exp\left(0,05\sqrt{\ln\ln\ln\ln T}\right)$, где $c>0$ — абсолютная постоянная, $T\ge T_0>0$. А.А.Карацуба исследуя количество нулей функции $f(s)$ в коротких промежутках критической прямой доказал: если $\varepsilon$ и $\varepsilon_1$ – произвольно малые фиксированные положительные числа, не превосходящие $0.001$; $T \geq T_0(\varepsilon,\varepsilon_1)>0$ и $H=T^{\frac{27}{82}+\varepsilon_1}$, то выполняется соотношение
$$N_0(T+H)-N_0(T)\ge H(\ln T)^{\frac{1}{2}-\varepsilon}.$$
В работе доказано, что для количества нулей функции Дэвенпорта-Хейльбронна $f(s)$ в коротких промежутках вида $[T,T+H]$ критической прямой последнее соотношение справедливо при $H\ge T^{\frac{131}{416}+\varepsilon_1}$. Этот результат в частности является приложением новых равномерных по параметрам оценок специальных тригонометрических сумм $W_j(T)$, $j=0,1,2$ в терминах экспоненциальных пар, в котором задача о нетривиальности оценки этих сумм относительно параметра $H$ сведена к проблеме отыскания экспоненциальных пар.