Об интерполяции функций многих переменных

В настоящей работе построены эффективные многомерные интерполяционные формулы для периодических функций, точные на классах многочленов Фурье. Эта работа продолжает исследования Н.М. Коробова [5], В.С. Рябенького [11], С.М. Воронина [8] и других учёных по применению теоретико-числового метода в приближённом анализе. Эти авторы число узлов рассматриваемых ими сеток брали равным простому числу в кольце целых рациональных чисел и в кольцах целых алгебраических чисел.
Здесь мы рассматриваем класс строго регулярных периодических функций $f(x_1,\dots ,x_n),$ имеющих период единица по каждой переменной и разлагающихся в абсолютно сходящийся ряд Фурье (см., например, [15], с. 447) вида
$$f(x_1,\dots ,x_n)=\sum_{m_1=-\infty}^{\infty}\dots \sum_{m_n=-\infty}^{\infty}c(m_1,\dots ,m_n)e^{2\pi i(m_1x_1+\dots +m_nx_n)},$$
где
$$c(m_1,\dots ,m_n)=\int\limits_0^1\dots\int\limits_0^1f(x_1,\dots,x_n)e^{-2\pi i(m_1x_1+\dots +m_nx_n)}\;dx_1\dots dx_n.$$
Далее, выбирая число точек решётки $N$ в виде $N=N_1\dots N_n,$ где $(N_s,N_t)=1$ при $s\ne t, 1\leq s,t\leq n$ и $N_s\asymp N^{1/n}, 1\leq n,$ и используя китайскую теорему об остатках, строим интерполяционный многочлен вида
$$P(x_1,\dots ,x_n)=\sum_{m_1=0}^{N_1-1}\dots\sum_{m_n=0}^{N_n-1}\tilde c(m_1,\dots ,m_n)e^{2\pi i(m_1x_1+\dots m_nx_n)},$$
где
$$c(m_1,\dots ,m_n)=\frac 1N\sum_{k_1=1}^{N_1}\dots \sum_{k_n=1}^{N_n}f\left (\frac{M_1^{*}k_1}{N_1},\dots ,\frac{M_n^{*}k_n}{N_n}\right)e^{-2\pi i\left(\frac{M_1^{*}m_1}{N_1}+\dots+\frac{M_n^{*}m_n}{N_n}\right)},$$
причём $N_sM_s=N, M_sM_s^{*}\equiv 1\pmod{N_s}.$