Инвариантные функции на свободных группах и специальных HNN-расширениях

В данной работе рассматриваются вопросы о возможности построения инвариантных нетривиальных псевдохарактеров на свободных группах. Доказано существовании нетривиальных псевдохарактеров на определенном типе HNN-расширений, относящихся к сложным случаям.
Для таких HNN-расширений, обладающих определенными копредставлениями, получены утверждения о ширине коммутантных вербальных подгрупп и нетривиальности второй группы ограниченных когомологий. Таким образом, дается частичный ответ на вопросы, сформулированные Р. И. Григорчуком.
Для произвольной группе $G$ псевдохарактером $\varphi$ на $G$ назывется вещественная функция, для которой $|\varphi(ab) - \varphi(a) - \varphi(b)| \leq \varepsilon$ для любых $a,b\in G$ и некоторого $\varepsilon>0$ и $\varphi(x^n)=n\varphi(x)$ для любых $x\in G, n\in\mathcal{Z}$. Псевдохарактер назывется нетривиальным, если существуют $a,b\in G$, такие, что $\varphi(ab)\neq\varphi(a)+\varphi(b)$. Существование на группе нетривиальных псевдохарактеров связано со многими важными характеристиками групп.
Понятия псевдохарактеров было введено А. И. Штерном. Условия, достаточные для существования нетривиальных псевдохарактеров на свободных произведениях с объединением и HNN-расширениях, в которых базовая группа отлична от связанных подгрупп, были получены Р. И. Григорчуком и В. Г. Бардаковым. Нетривиальные псевдохарактеры существуют на группах с одним определяющим соотношением и по крайней мере тремя образующими.
Открытыми остаются вопросы об условиях существования нетривиальных псевдохарактеров для групп с одним определяющим соотношением и двумя образующими, для HNN-расширений, в которых одна из связанных подгрупп совпадает с базовой группой. Эти вопросы во многих случаях сводятся к построению нетривиальных псевдохарактеров на свободных группах, инвариантных относительно специальных типов эндоморфизмов.
В статье доказывается существование нетривиальных псевдохарактеров на свободных группах ранга $n>1$, инвариантных относительно одного из таких типов эндоморфизмов. Доказано существование нетривиальных псевдохарактеров на некоторых нисходящих HNN-расширениях.
Библиография: 17 названий.