О взаимной простоте элементов последовательности Битти

В заметке рассматриваются два приложения доказанной авторами асимптотической формулы для числа значений последовательности Битти в арифметической прогрессии с растущей разностью: получены асимптотические формулы для количества элементов последовательности Битти, взаимно простых с (возможно, растущим) натуральным числом $a$, а также для количества пар взаимно простых элементов двух последовательностей Битти. Сформулируем основные результаты.
Пусть $\alpha>1$ — иррациональное число и $N$ — достаточно большое натуральное число. Тогда если неполные частные непрерывной дроби числа $\alpha$ ограничены, то для количества $S_{\alpha,a}(N)$ элементов последовательности Битти $[\alpha n]$, $1\leqslant n\leqslant N$, взаимно простых с числом $a$, справедлива асимптотическая формула
$$S_{\alpha,a}(N)=N\frac{\varphi(a)}{a} + O\left(\min(\sigma(a)\ln^3 N, \sqrt{N}\tau(a)(\ln\ln N)^3)\right),$$
где $\tau(a)$ — число натуральных делителей числа $a$, $\sigma(a)$ — сумма делителей числа $a$.
Пусть $\alpha>1$ и $\beta>1$ — иррациональные числа и $N$ — достаточно большое натуральное число. Тогда если неполные частные непрерывных дробей чисел $\alpha$ и $\beta$ ограничены, то для количества $S_{\alpha,\beta}(N)$ пар взаимно простых элементов последовательностей Битти $[\alpha m]$, $1\leqslant m\leqslant N$, и $[\beta n]$, $1\leqslant n\leqslant N$, справедлива асимптотическая формула
$$S_{\alpha,\beta}(N)=\frac{6}{\pi^2}N^2 + O\left(N^{3/2} (\ln\ln N)^6\right).$$