Об одной экстремальной задаче для положительно определённых функций

В данной работе рассматривается экстремальная задача, связанная с множеством непрерывных положительно определённых функций на $\mathbb{R}$, носитель которых содержится в отрезке $[-\sigma,\sigma]$, $\sigma>0$, а значение в нуле фиксировано (класс $\mathfrak{F}_\sigma$).
Мы рассматриваем следующую задачу. Пусть $\mu$ – линейный локально ограниченный функционал на множестве финитных непрерывных функций $C_c(\mathbb{R})$, принимающий вещественные значения на множествах $\mathfrak{F}_\sigma$, $\sigma>0$. При фиксированном $\sigma>0$ требуется найти следующие величины:
$$M(\mu,\sigma):=\sup\left\{ \mu(\varphi): \varphi\in\mathfrak{F}_\sigma\right\},\ m(\mu,\sigma):=\inf\left\{ \mu(\varphi): \varphi\in\mathfrak{F}_\sigma\right\}.$$
Нами получено общее решение данной задачи для линейных функционалов следующего вида $\mu(\varphi)=\int_\mathbb{R}\varphi(x)\rho(x)dx$, $\varphi\in C_c(\mathbb{R})$, где $\rho\in L_{loc}(\mathbb{R})$ и $\rho(x)=\overline{\rho(-x)}$ для п. в. $x\in\mathbb{R}$. Если $\rho(x)\equiv1$, то величина $M(\mu,\sigma)$ была найдена Зигелем в 1935 году и независимо Боасом и Кацом в 1945 году. В данной работе найдены явные решения рассматриваемой задачи в следующих случаях: $\rho(x)=ix$, $\rho(x)=x^2$ и $\rho(x)=i\mathop{\rm sign} x$, $x\in\mathbb{R}$.
Кроме того, в данной работе изучается связь между рассматриваемой задачей и точечными неравенствами для производных целых функций экспоненциального типа $\leqslant\sigma$, сужения на $\mathbb{R}$ которых принадлежат $L_1(\mathbb{R})$. В частности, получены точные неравенства для первой и второй производных таких функций.