Полиадические числа Лиувилля

Объекты, названные в этой работе полиадическими числами Лиувилля, рассматриваются относительно недавно. Они представляют собой важную составляющую часть работ автора о бесконечной линейной независимости полиадических чисел
$$f_{0}(\lambda)=\sum_{n=0}^\infty (\lambda)_{n}\lambda^{n}, f_{1}(\lambda)=\sum_{n=0}^\infty (\lambda +1)_{n}\lambda^{n},$$
где $\lambda$ представляет собой некоторое полиадическое лиувиллево число. Как обычно, символ Похгаммера обозначается $(\gamma)_{n}$ , по определению, $(\gamma)_{0}=1$ , а при $n\geq 1$ имеем $(\gamma)_{n}=\gamma(\gamma+1)...(\gamma+n-1)$. Рассматриваемые ряды сходятся в любом поле $\mathbb{\mathrm{Q}}_p$. Параметром рассматриваемых рядов типа Эйлера является полиадическое чмсло Лиувилля и значения рядов рассматриваются в полиадической точке Лиувилля. Отметим работы Е.С. Крупицына, где установлены оценки многочленов от совокупностей полиадических чисел Лиувилля и работы Е.Ю. Юденковой, в которых значения $F$-рядов рассматриваются в полиадических точках Лиувилля. Напоним, что каноническое разложение полиадического числа $\lambda$ имеет вид
$$\lambda= \sum_{n=0}^\infty a_{n} n!, a_{n}\in\mathbb{\mathrm{Z}}, 0\leq a_{n}\leq n.$$
Этот ряд сходится в любом поле $p$-адических чисел $\mathbb{\mathrm{Q}}_p$. Будем называть полиадическое число $\lambda$ полиадическим числом Лиувилля (или лиувиллевым полиадическим числом), если для любых чисел $n$ и $P$ существует натуральное число $A$ такое, что для всех простых чисел $p$ , удовлетворяющих неравенству $p\leq P$ выполнено неравенство
$$\left|\lambda -A \right|_{p}<A^{-n}.$$
В статье доказывается простое утверждение о том, что полиадическое число Лиувилля является трансцендентным элементом любого поля $\mathbb{\mathrm{Q}}_p.$ Иными словами, полиадическое число Лиувилля — глобально трансцедентное число. Устанавливается теорема о свойствах приближений совокупности $p$-адических чисел и ее следствие — достаточное условие алгебраической независимости совокупности $p$-адических чисел. Также получена теорема о глобальной алгебраической независимости совокупности полиадических чисел.