Аннотация:
Топографический подход Конвея к бинарным квадратичным формам и тройкам Маркова рассматривается с точки зрения теории двузначных групп. Это естественно приводит к новому классу коммутативных двузначных групп, которые мы называем инволютивными.
Мы показываем, что в этом классе особую роль играет двузначная группа нестрогих векторов Конвея. Группа $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{Z})$, описывающая симметрии топографа Конвея, действует автоморфизмами этой двузначной группы. Бинарные квадратичные формы интерпретируются при этом как примитивные элементы 2-алгебры Хопфа функций на группе Конвея. Этот факт используется для построения явного вложения группы Конвея в $\mathbb R$ и, тем самым, для введения на ней полного группового порядка.
Мы классифицируем все двузначные алгебраические инволютивные группы с симметричным законом умножения и показываем, что все они получаются косет-конструкцией из закона сложения на эллиптических кривых. В частности, это проясняет особую роль модификации уравнения Маркова, предложенной Морделлом, и показывает ее связь с двузначными группами из $K$-теории.
Статья заканчивается обсуждением роли двузначных групп и группы $\mathrm{PGL}_2(\mathbb{Z})$ в контексте интегрируемости в многозначной динамике.
Библиография: 104 названия.
Образец цитирования:
В. М. Бухштабер, А. П. Веселов, “Топограф Конвея, $\mathrm{PGL}_2(\mathbb Z)$-динамика и двузначные группы”, УМН, 74:3(447) (2019), 17–62; Russian Math. Surveys, 74:3 (2019), 387–430
А. А. Гайфуллин, “Коммутативность инволютивных двузначных групп”, УМН, 79:2(476) (2024), 185–186; A. A. Gaifullin, “Commutativity of involutive two-valued groups”, Russian Math. Surveys, 79:2 (2024), 363–365
М. А. Чирков, “Функция роста $n$-значной динамики”, Матем. заметки, 115:3 (2024), 458–465; M. A. Chirkov, “On Growth Function of $n$-Valued Dynamics”, Math. Notes, 115:3 (2024), 420–426
М. И. Корнев, “$n$-значные косетные группы и динамика”, Матем. заметки, 116:1 (2024), 77–90; M. I. Kornev, “$n$-Valued coset groups and dynamics”, Math. Notes, 116:1 (2024), 66–76
В. Г. Бардаков, Т. А. Козловская, Д. В. Талалаев, “$n$-Значные квандлы и ассоциированные биалгебры”, ТМФ, 220:1 (2024), 25–43; V. G. Bardakov, T. A. Kozlovskaya, D. V. Talalaev, “$n$-valued quandles and associated bialgebras”, Theoret. and Math. Phys., 220:1 (2024), 1080–1096
V. Knibbeler, S. Lombardo, A. P. Veselov, “Automorphic Lie algebras and modular forms”, Int. Math. Res. Notices, 2023:6 (2023), 5209–5262
A. P. Veselov, “Conway’s light on the shadow of Mordell”, Math. Intelligencer, 45 (2023), 371–378
В. М. Бухштабер, А. П. Веселов, А. А. Гайфуллин, “Классификация инволютивных коммутативных двузначных групп”, УМН, 77:4(466) (2022), 91–172; V. M. Buchstaber, A. P. Veselov, A. A. Gaifullin, “Classification of involutive commutative two-valued groups”, Russian Math. Surveys, 77:4 (2022), 651–727
V.M. Buchstaber, A.P. Veselov, Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, 103.2, Integrability, Quantization, and Geometry, 2021, 67
Л. О. Чехов, “Координаты Фенхеля–Нильсена и скобки Голдмана”, УМН, 75:5(455) (2020), 153–190; L. O. Chekhov, “Fenchel–Nielsen coordinates and Goldman brackets”, Russian Math. Surveys, 75:5 (2020), 929–964
Н. Ю. Ероховец, “Трехмерные прямоугольные многогранники конечного объема в пространстве Лобачевского: комбинаторика и конструкции”, Алгебраическая топология, комбинаторика и математическая физика, Сборник статей. К 75-летию со дня рождения члена-корреспондента РАН Виктора Матвеевича Бухштабера, Труды МИАН, 305, МИАН, М., 2019, 86–147; N. Yu. Erokhovets, “Three-Dimensional Right-Angled Polytopes of Finite Volume in the Lobachevsky Space: Combinatorics and Constructions”, Proc. Steklov Inst. Math., 305 (2019), 78–134
Цитирование в формате AMSBIB
Обратная связь: