Аннотация:
В обзорных докладах А. Д. Александрова, А. В. Погорелова [1], Н. В. Ефимова [2]
подробно описаны глубокие связи между теорией поверхностей и теорией уравнений
в частных производных и освещены основные результаты в исследовании пограничных
вопросов геометрии и анализа, связанные с гауссовой кривизной поверхности и ее различными обобщениями. В последнее время интенсивно разрабатываются в разнообразных направлениях пограничные вопросы геометрии и теории квазилинейных уравнений. Из всего многообразия вопросов, изучаемых в этой области, мы ограничиваемся в настоящей статье рассмотрением лишь двух тесно связанных задач: геометрическими методами оценок решения задачи Дирихле для квазилинейного эллиптического уравнения и построением непараметрической гиперповерхности с заданной средней кривизной в римановом пространстве. Уже для случая нулевой средней кривизны (минимальные поверхности) эти вопросы представляют значительные трудности. Мы не будем специально рассматривать задачи, связанные с построением минимальных поверхностей. Отметим, что весьма полное представление о работах в этой области дают обзоры Р. Оссермана [3], [40], И. С. С. Ниче [4]. Настоящая статья представляет собой значительно расширенное изложение докладов, прочитанных автором на II и III Всесоюзных симпозиумах по геометрии в целом в 1967 и 1969 гг. [15], [35].
M. Dajczer, J. Ripoll, “Constant mean curvature hypersurfaces with single valued projections on planar domains”, Journal of Differential Equations, 250:3 (2011), 1493
Michael E. Taylor, Applied Mathematical Sciences, 115, Partial Differential Equations I, 2011, 105
M. Hazewinkel, Encyclopaedia of Mathematics, 1990, 67
Ilya J. Bakelman, Analysis and Continuum Mechanics, 1989, 181
Ilya J. Bakelman, Mathematical Sciences Research Institute Publications, 12, Nonlinear Diffusion Equations and Their Equilibrium States I, 1988, 75
Michael T. Anderson, “Complete minimal varieties in hyperbolic space”, Invent Math, 69:3 (1982), 477
Engelbert Tausch, “A class of variational problems with linear growth”, Math Z, 164:2 (1978), 159
Claus Gerhardt, “Existence, regularity, and boundary behaviour of generalized surfaces of prescribed mean curvature”, Math Z, 139:2 (1974), 173
И. Я. Бакельман, Б. Е. Кантор, “Оценки решений квазилинейных эллиптических уравнений, связанных с проблемами геометрии “в целом””, Матем. сб., 91(133):3(7) (1973), 336–349; I. Ya. Bakelman, B. E. Kantor, “Estimates for solutions of quasilinear elliptic equations connected with problems of geometry “in the large””, Math. USSR-Sb., 20:3 (1973), 348–363
Claus Gerhardt, “Hypersurfaces of prescribed mean curvature over obstacles”, Math Z, 133:2 (1973), 169
Stefan Hildebrandt, Helmut Kaul, “Two-dimensional variational problems with obstructions, and Plateau's problem for h-surfaces in a Riemannian manifold”, Comm Pure Appl Math, 25:2 (1972), 187