| Успехи математических наук |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 1 научной статье (всего в 1 статье) Краткие сообщения Условия надкритичности для ветвящихся блужданий в случайной убивающей среде с единственным центром размножения В.А. Куценкоa, С. А. Молчановb, Е. Б. Яроваяa a Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук b Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики"
Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 2023, Volume 78, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.4213/rm10147e 
Реферативные базы данных:
     Рассматривается ветвящееся случайное блуждание (ВСБ) по одномерной решетке Z с непрерывным временем. На решетке вне нуля задано поле независимых одинаково распределенных случайных величин M={μ(x,⋅),x∈Z∖{0}}, которые определены на некотором вероятностном пространстве (Ω,F,P). Предполагается, что каждая случайная величина μ(x,⋅) принимает значения из отрезка [0,c], c⩾0, и имеет на нем положительную плотность. Поле M образует на Z “случайную убивающую среду”, которая определяет интенсивность исчезновения частиц в ВСБ. Реализацию поля M обозначим через M(ω)={μ(x,ω),x∈Z∖{0}}, ω∈Ω. Дополнительно введем параметр Λ⩾0, отвечающий за интенсивность размножения частиц в нуле, и параметр ϰ>0, управляющий интенсивностью блуждания частиц по решетке. Пусть в момент времени t=0 на Z находится одна частица. Дальнейшая эволюция происходит следующим образом. Если частица находится в нуле, то за время h→0 она с вероятностью Λh+o(h) разделится надвое, с вероятностью ϰh+o(h) переместится равновероятно в одну из соседних точек и с вероятностью 1−Λh−ϰh+o(h) останется на месте. Если же частица находится в точке x≠0, то за время h→0 она с вероятностью μ(x,ω)h+o(h) исчезнет, с вероятностью ϰh+o(h) переместится равновероятно в одну из соседних точек и с вероятностью 1−μ(x,ω)−ϰh+o(h) останется на месте. Новые частицы эволюционируют по тому же закону независимо друг от друга и от всей предыстории. Процесс ветвления частиц в точке x∈Z описывается потенциалом V(x,ω):=Λδ0(x)−μ(x,ω)(1−δ0(x)), где δy(x) – функция Кронекера. Поведение ВСБ в момент времени t определяется набором численностей частиц Nt(y,ω) в точках y∈Z. Обычно рассматривают среднюю численность частиц [1], [2]: m1(t,x,y,ω)=ExNt(y,ω), где Ex – математическое ожидание при условии N0(y,ω)=δy(x). Мы будем изучать вероятность P(Λ,ϰ,c) реализации среды, при которой наблюдается экспоненциальный рост m1(t,x,y,ω) (надкритичность) при заданных параметрах Λ, ϰ и c. Формально P(Λ,ϰ,c)=P{ω∈Ω:limt→∞m1(t,x,y,ω)C(x,y)eλ(ω)t=1∀x,y∈Z}, где функции C, λ и m1 положительны, а также дополнительно зависят от Λ, ϰ и c. Цель настоящей работы – оценить P(Λ,ϰ,c) как функцию от Λ,ϰ,c. Воспользуемся подходом, описанным, например, в [2], [3], и запишем для m1(t,x,y,ω) задачу Коши: ∂m1(t,x,y,ω)/∂t=(ϰΔm1)(t,x,y,ω)+V(x,ω)m1(t,x,y,ω) с начальным условием m1(0,x,y,ω)=δy(x), где ϰΔf(x)=ϰ[f(x+1)/2+f(x−1)/2−f(x)] – разностный лапласиан на Z. Здесь и далее все операторы определены на l2(Z). Вводя случайный самосопряженный оператор H(ω)=ϰΔ+V(x,ω), выписанную ранее задачу Коши можно представить в виде ∂m1(t,x,y,ω)/∂t=H(ω)m1(t,x,y,ω), m1(0,x,y,ω)=δy(x). В задачах такого вида поведение m1 зависит от структуры спектра оператора H(ω). Лемма 1. Спектр H(ω) почти наверное состоит из неслучайной существенной части [−2ϰ−c;0] и, возможно, случайного собственного значения λ(Λ,ϰ,c,ω)>0. Доказательство следует схеме рассуждений из работы [4]. В частности, для каждого λ0∈[−2ϰ−c;0] и почти любой реализации среды ω0∈Ω удается построить такую последовательность ортонормированных функций {fi(x,λ0,ω0)}∈l2(Z), i∈N, что ‖ при n\to\infty. Отсюда следует, что любое \lambda_0\in[-2\varkappa-c;0] почти наверное принадлежит существенному спектру. Случайное собственное значение \lambda(\Lambda,\varkappa,c,\omega) может появиться вследствие одноточечного возмущения самосопряженного оператора в нуле. В следующей лемме найден явный вид собственной функции u_\lambda(x), соответствующей \lambda>0. Доказательство проводится подстановкой выражения u_\lambda(x) в задачу на собственные значения. Лемма 2. Если положительное собственное значение \lambda(\Lambda,\varkappa,c,\omega) существует, то соответствующая ему собственная функция задается абсолютно сходящимся рядом \displaystyle u_\lambda(x)=\sum_{\gamma\colon x\to0}\prod_{z\in\gamma}\frac{\varkappa/2}{\mu(z,\omega)+\lambda+\varkappa}, где \gamma\colon a \rightsquigarrow b – путь \{a=x_1,x_2,\dots,x_n\not=b\} из точки a в точку b с переходами в соседние точки решетки, причем (i) путь \gamma не пересекает 0, (ii) точка b не считается входящей в путь \gamma. Значение u_\lambda(0) равно 1. Для “самой плохой” реализации среды \mu(x,\omega)\equiv c ряд для u_\lambda(x) в лемме 2 может быть выражен через элементарные функции. То же верно и для случая “самой хорошей” среды \mu(x,\omega)\equiv 0. Отсюда вытекает следующий результат. Теорема 1. Если \Lambda\geqslant\sqrt{2\varkappa c+c^2}-c, то собственное значение \lambda(\omega) принадлежит отрезку [\sqrt{(\Lambda+c)^2+\varkappa^2}-(\varkappa+c); \sqrt{\Lambda^2+\varkappa^2}-\varkappa] и, соответственно, P(\Lambda,\varkappa,c)=1. Теперь рассмотрим неслучайную среду с убиванием частиц в точках x=-1 и x=1 с интенсивностями \mu_{-1}>0 и \mu_{1}>0 соответственно. Тогда задача Коши примет вид \partial m_1(t,x, y)/\partial t=H_{1}m_1(t,x,y), m_1(0,x,y)=\delta_y(x), где H_1:=\varkappa \Delta+\delta_0(x)\Lambda-\delta_1(x)\mu_1-\delta_{-1}(x)\mu_{-1}. Лемма 3. Положительное собственное значение оператора H_1 существует тогда и только тогда, когда \Lambda>(\mu_1+\mu_{-1}+2\sigma\mu_1\mu_{-1})/[(1+\sigma\mu_1)(1+\sigma\mu_{-1})], где \sigma=2/\varkappa. Рассмотрим набор сред \Omega_1=\{\omega\in\Omega\colon \mu(1,\omega)=\mu_{1}, \mu(-1,\omega)=\mu_{-1}\}. Средняя численность частиц в неслучайной среде будет почти наверное больше средней численности в любой среде из \Omega_1. Это замечание и лемма 3 влекут следующий результат. Теорема 2. P(\Lambda,\varkappa,c)\leqslant\mathsf{P}\{\Lambda> (\xi_1+\xi_2+2\sigma\xi_1\xi_{2})/[(1+\sigma\xi_1)(1+\sigma\xi_{2})]\}, где \xi_i – независимые копии \mu(x,\omega). Таким образом, предложены новые подходы к изучению ВСБ в случайных средах. 
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{KutMolYar23}
Эта публикация цитируется в следующих 1 статьяx:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|