В. З. Гринес, Е. Я. Гуревич, “Топологическая классификация потоков без гетероклинических траекторий на связной сумме многообразий $\mathbb{S}^{n-1}\times \mathbb{S}^{1}$”, УМН, 77:4(466) (2022), 201–202; Russian Math. Surveys, 77:4 (2022), 759

Пусть

$f^t$ – гладкий поток на замкнутом многообразии

$M^n$ , неблуждающее множество

$\operatorname{NW}(f^t)$ которого состоит из конечного числа гиперболических состояний равновесия, размерность неустойчивого многообразия которых (индекс Морса) принимает значения

$\{0,1,n-1,n\}$ , а инвариантные многообразия различных седловых состояний равновесия не пересекаются. Будем говорить, что такой поток

$f^t$ не имеет гетероклинических траекторий. В силу [4] многообразие

$M^n$ гомеоморфно многообразию

$\mathcal{S}^n_g$ , где

$\mathcal{S}^n_g$ – либо сфера

$\mathbb{S}^n=\{x\in \mathbb{R}^n\colon |x|=1\}$ (при

$g=0$ ), либо связная сумма

$g>0$ копий многообразий

$\mathbb{S}^{n-1}\times \mathbb{S}^{1}$ . Везде ниже сферой размерности

$n$ называется многообразие

$S^n$ , гомеоморфное

$\mathbb{S}^n$ .

Обозначим через

$G(\mathcal{S}^n_g)$ класс гладких потоков на

$\mathcal{S}^n_g$ , не имеющих гетероклинических траекторий, неблуждающее множество которых состоит из гиперболических состояний равновесия. Для таких потоков справедливо следующее утверждение.

Утверждение 1. Пусть $f^t\in G(\mathcal S^n_g)$ , $g\geqslant 0$ , $n\geqslant4$ . Тогда все седловые состояния равновесия потока $f^t$ имеют индекс Морса, равный $1$ или $n-1$ .

Для

$g=0$ результат утверждения 1 доказан в работе [8]. Предположим, что

$g>0$ и поток

$f^t\in G(\mathcal{S}^n_g)$ имеет седловое состояние равновесия

$\sigma$ , индекс Морса

$i$ которого принадлежит множеству

$\{2,\dots,n-2\}$ . Тогда в силу [10; теорема 2.1] найдется единственная пара

$\alpha$ ,

$\omega$ источникового и стокового состояний равновесия такая, что

$\operatorname{clos}W^{\rm s}_{\sigma}=W^{\rm s}_{\sigma}\cup \alpha$ и

$\operatorname{clos}W^{\rm u}_{\sigma}=W^{\rm u}_{\sigma}\cup \omega$ . Следовательно, замыкания устойчивого и неустойчивого инвариантных многообразий точки

$\sigma$ являются сферами размерностей

$n-i$ и

$i$ соответственно, гладко вложенными во всех точках, кроме, быть может, точек

$\alpha$ ,

$\omega$ . Эти сферы пересекаются в единственной точке

$\sigma$ , поэтому их индекс пересечения по модулю равен единице. В работе [3] показано, что группы гомологий

$H_{i}(\mathcal{S}^n_g)$ ,

$H_{n-i}(\mathcal{S}^n_g)$ тривиальны. Отсюда следует, что найдется сфера

$S^{i}$ , гомологичная сфере

$\operatorname{clos}{W^{\rm u}_{\sigma}}$ и не пересекающаяся со сферой

$\operatorname{clos}{W^{\rm s}_{\sigma}}$ . Следовательно, индекс пересечения сфер

$S^{i}$ ,

$\operatorname{clos}W^{\rm s}_{\sigma}$ равен нулю. В силу [9; § 70, теорема I] индексы пересечения сфер

$S^{i}$ ,

$\operatorname{clos}W^{\rm s}_{\sigma}$ и

$\operatorname{clos}W^{\rm u}_{\sigma}$ ,

$\operatorname{clos}W^{\rm s}_{\sigma}$ равны – таким образом, получаем противоречие.

Из [2], [7], [6] следует, что все потоки из класса

$G(\mathcal{S}^n_g)$ являются грубыми (структурно устойчивыми). Проблема топологической классификации структурно устойчивых потоков с конечным неблуждающим множеством на многообразиях имеет долгую и богатую историю, начавшуюся с классических работ [2], [1]. Однако наиболее полные результаты получены для размерности

$n\leqslant 3$ , в то время как для

$n>3$ существует небольшое число результатов (см. обзор [5]). Топологическая классификация потоков из класса

$G(S^n)$ ,

$n\geqslant 3$ , получена в [8], где доказано, что полным топологическим инвариантом таких потоков является фазовая диаграмма – комбинаторный инвариант, представляющий собой обобщение схемы динамической системы Леонтович–Майера и графа Пейшото, применявшихся для топологической классификации грубых потоков на двумерных многообразиях. Для

$n=3$ топологическая классификация потоков из класса

$G(\mathcal{S}^n_g)$ на комбинаторном языке следует из более общих результатов работы [11]. В [12] построен пример потока Морса–Смейла на четырехмерном многообразии, замыкания двумерных инвариантных многообразий седловых состояний равновесия которого – дикие сферы. Этот пример свидетельствует о принципиальной невозможности классификации многомерных потоков в комбинаторных терминах. Утверждение 1 позволяет значительно расширить класс многообразий, для которых структура разбиения на траектории потока еще допускает комбинаторное описание.

Пусть

$\mathcal{L}_{f^t}$ – множество всех замыканий инвариантных многообразий седловых состояний равновесия размерности

$n-1$ . В силу утверждения 1 каждый элемент из этого множества является сферой размерности

$n-1$ . Пусть

$\mathcal{D}_{f^t}$ – множество компонент связности многообразия, полученного из

$M^n$ удалением всех сфер, принадлежащих

$\mathcal{L}_{f^t}$ .

Двуцветным графом потока

$f^t$ назовем граф

$\Gamma_{f^t}$ со следующими свойствами: 1) множество

$V(\Gamma_{f^t})$ вершин графа

$\Gamma_{f^t}$ находится во взаимно однозначном соответствии с множеством

$\mathcal{D}_{f^t}$ , множество

$E(\Gamma_{f^t})$ ребер графа

$\Gamma_{f^t}$ находится во взаимно однозначном соответствии с множеством

$\mathcal{L}_{f^t}$ ; 2) вершины

$v_i$ ,

$v_j$ инцидентны ребру

$e_{i,j}$ тогда и только тогда, когда соответствующие им области

$D_i,D_j\in \mathcal{D}_{f^t}$ имеют общую границу; 3) ребро

$e_{i,j}$ имеет цвет

$\mathrm{s}$ или

$\mathrm{u}$ в зависимости от того, соответствует оно многообразию

$\operatorname{clos}W^{\rm s}_p\in \mathcal{L}_{f^t}$ или

$\operatorname{clos}W^{\rm u}_q \in \mathcal{L}_{f^t}$ .

Теорема 1. Потоки $f^t,f'^t\in G(\mathcal{S}^n_g)$ топологически эквивалентны тогда и только тогда, когда их графы $\Gamma_{f^t}$ , $\Gamma_{f'^t}$ связаны изоморфизмом, сохраняющим цвет ребер.

Идея доказательства теоремы 1 состоит в следующем. Обозначим

$\Omega^i_{f^t}$ множество всех состояний равновесия потока

$f^t\in G(\mathcal{S}^n_g)$ , размерность неустойчивых многообразий которых равна

$i\in \{0,1,n-1,n\}$ . Положим

Образец цитирования: В. З. Гринес, Е. Я. Гуревич, “Топологическая классификация потоков без гетероклинических траекторий на связной сумме многообразий

$\mathbb{S}^{n-1}\times \mathbb{S}^{1}$ ”, УМН, 77:4(466) (2022), 201–202; Russian Math. Surveys, 77:4 (2022), 759–761

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{GriGur22}

\by В.~З.~Гринес, Е.~Я.~Гуревич

\paper Топологическая классификация потоков без гетероклинических траекторий на связной сумме многообразий $\mathbb{S}^{n-1}\times \mathbb{S}^{1}$

\jour УМН

\yr 2022

\vol 77

\issue 4(466)

\pages 201--202

\mathnet{http://mi.mathnet.ru/rm10047}

\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10047}

\mathscinet{http://mathscinet.ams.org/mathscinet-getitem?mr=4461389}

\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1526.37025}

\adsnasa{https://adsabs.harvard.edu/cgi-bin/bib_query?2022RuMaS..77..759G}

\transl

\jour Russian Math. Surveys

\yr 2022

\vol 77

\issue 4

\pages 759--761

\crossref{https://doi.org/10.4213/rm10047e}

\isi{https://gateway.webofknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=Publons&SrcAuth=Publons_CEL&DestLinkType=FullRecord&DestApp=WOS_CPL&KeyUT=000992300700006}

\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85165333447}

Образцы ссылок на эту страницу:

https://www.mathnet.ru/rus/rm10047

https://doi.org/10.4213/rm10047

https://www.mathnet.ru/rus/rm/v77/i4/p201

Эта публикация цитируется в следующих 2 статьяx:

О. В. Починка, Е. А. Таланова, “Диффеоморфизмы Морса–Смейла с неблуждающими точками попарно различных индексов Морса на 3-многообразиях”, УМН, 79:1(475) (2024), 135–184 ; O. V. Pochinka, E. A. Talanova, “Morse-Smale diffeomorphisms with non-wandering points of pairwise different Morse indices on 3-manifolds”, Russian Math. Surveys, 79:1 (2024), 127–171
И. А. Сараев, “О сведении проблемы топологической классификации градиентно-подобных потоков к классификации полярных потоков”, Журнал СВМО, 25:2 (2023), 62–75

Список литературы