Математические заметки, 2023, том 113, выпуск 2, страницы 308–310 DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13889 (Mi mzm13889)

DOI: https://doi.org/10.4213/mzm13889

Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 2, Pages 303–305
DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623010339

Реферативные базы данных:

1. Введение

Про однородное выпуклое тело $K\subset\mathbb R^n$ (плотность которого полагаем равной $1$) говорят, что оно находится в изотропном состоянии или что тело находится в изотропном положении, если его центр инерции расположен в начале декартовых координат $x=(x_1,\dots,x_n)$ пространства $\mathbb R^n$, тело имеет единичный объем в смысле индуцированной метрикой формы объема и при любых $i,j=1,\dots,n$

Ясно, что сдвигом и сжатиями (растяжениями) вдоль главных осей инерции любое тело можно привести в изотропное состояние.

В изотропном состоянии тела его тензор инерции не только диагонален, но и все его собственные значения (величины главных моментов инерции) одинаковы (их квадраты равны $(n-1)L^2_K$).

По свидетельству В. Мильмана [1] остается открытым следующий вопрос, сформулированный Бургейном.

Рассмотрим все множество $\{L_K\}$. Верно ли, что оно ограничено равномерно по размерности $n$ пространства $\mathbb R^n$ и по самим выпуклым телам $K\subset\mathbb R^n$, находящимся в изотропном состоянии?

В статье [1] приводится как результат $L_K<Cn^{1/4}\log n$ самого Бургейна, так и его усиление $L_K<Cn^{1/4}$, полученное Клартагом [2].

В статье [3] мы провели подсчет величины $L_K$ для шара и куба в $\mathbb R^n$. Единичный $n$-мерный куб очень не похож на шар: расстояние между его гранями равно единице, а диаметр равен $\sqrt{n}$. Тем не менее, константы изотропии $L_K$ шара единичного объема и единичного куба оказываются соизмеримыми при $n\to\infty$.

Для объяснения этого факта и в подтверждение гипотезы Бургейна мы в работе [3] напомнили, что средний радиус выпуклого тела в $\mathbb R^n$ зависит только от его объема (см., например, [4]).

Вместе с тем, почти весь объем $n$-мерного шара при $n\to\infty$ концентрируется в непосредственной близости его граничной сферы.

Сопоставление этих обстоятельств делает гипотезу Бургейна вполне оправданной.

2. Случай нормального распределения в пространства $\mathbb R^n$

Проведем еще один конкретный расчет, основанный на той же идее, (взятой из книги [5]), что и расчеты, которые в работе [3] были проделаны для шара и куба.

Мы хотим вычислить главные моменты инерции $I_1=\dotsb=I_n$ пространства $\mathbb R_G^n$, наделенного вероятностной (единичной) мерой, распределенной по нормальному закону с плотностью

Это даст возможность найти изотропную константу $L_{\mathbb R_G^n}$, принимая во внимание, что $(n-1)L^2_{\mathbb R_G^n}=I_1$.

Отметим, что на сей раз мы имеем дело с телом, в котором масса распределена, хотя и центрально симметрично, но вовсе не однородно. Вместе с тем, известно, что почти вся масса, распределенная в пространстве $\mathbb R^n$ по закону Гаусса (1), сосредоточена в единичной окрестности сферы радиуса $g_n=\sigma\sqrt{n}$.

(Заметим, что приведенная ниже формула (5) дает следующую асимптотику радиуса $r_n$ шара единичного объема в пространстве $\mathbb R^n$: $r_n\simeq(2\pi e)^{-1/2}\sqrt{n}$.)

Это значит, что мы должны получить результат, близкий к тому, который был бы получен для однородного шара радиуса $\sigma\sqrt{n}$, поскольку при $n\gg 1$ почти весь объем шара концентрируется непосредственно около его граничной сферы.

Следуя упомянутому указанию книги [5], заметим, что поскольку

Таким образом,

Таким образом,

В частности, при $\sigma=1$ имеем $L_{\mathbb R_G^n}=1$.

3. О случаях шара и куба в $\mathbb R^n$

В работе [3] было показано, что для однородного шара $b^n\subset\mathbb R^n$ единичного объема и единичной плотности меры

Это означает, что в рассматриваемом случае $L^2_{b^n}=(1/(n+2))r^2_n$ и

Напомним, что объем $v_n$ единичного $n$-мерного шара $B^n$ (шара единичного радиуса) в $n$-мерном евклидовом пространстве $\mathbb R^n$ выражается формулой

В работе [3] было также показано, что для $n$-мерного куба $I^n\subset\mathbb R^n$ единичного объема и единичной плотности меры

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1.	V. Milman, Geometry and Dynamics of Groups and Spaces, Progr. Math., 265, Birkhäuser, Basel, 2007, 647–667
2.	B. Klartag, Geom. Funct. Anal., 16:6 (2006), 1274–1290
3.	V. A. Zorich, J. Math. Sci. (N.Y.), 259:1 (2021), 104–107
4.	K. Ball, Flavors of Geometry, Math. Sci. Res. Inst. Publ., 31, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1997, 1–58
5.	Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, Краткий курс теоретической физики. Кн. 1. Механика. Электродинамика, Наука, М., 1969

Цитирование в формате AMSBIB

\RBibitem{Zor23}
\by В.~А.~Зорич
\paper К одной гипотезе Бургейна
\jour Матем. заметки
\yr 2023
\vol 113
\issue 2
\pages 308--310
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/mzm13889}
\crossref{https://doi.org/10.4213/mzm13889}
\transl
\jour Math. Notes
\yr 2023
\vol 113
\issue 2
\pages 303--305
\crossref{https://doi.org/10.1134/S0001434623010339}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-85149942662}