| Математические заметки |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 7 научных статьях (всего в 7 статьях) О единственности решения одного класса интегральных уравнений с суммарно-разностным ядром и с выпуклой нелинейностью на положительной полупрямой А. С. Петросянab, Х. А. Хачатрянcb a Национальный аграрный университет Армении, г. Ереван b Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова c Ереванский государственный университет, Армения
Англоязычная версия:
Mathematical Notes, 2023, Volume 113, Issue 4, Pages DOI: https://doi.org/10.1134/S0001434623030239 
Реферативные базы данных:
  1. ВведениеКак известно, нелинейные интегральные уравнения с монотонной нелинейностью и с интегральными операторами типа свертки, кроме чисто математического интереса, имеют важные значения в различных прикладных задачах математической физики и математической биологии. В частности, уравнения такого характера встречаются в динамической теории p-адических открыто-замкнутых струн для скалярного поля тахионов, в математической теории пространственно-временного распространения пандемии в рамках нелинейной модели Дикмана–Капера, в теории переноса излучения в спектральных линиях и в кинетической теории газов (см. [1]–[10]). В перечисленных приложениях эти уравнения являются уравнениями с выпуклой нелинейностью. В настоящей работе мы рассмотрим следующий класс интегральных уравнений с суммарно-разностным ядром и с выпуклой нелинейностью на положительной полуоси: относительно искомой измеримой неотрицательной и ограниченной функций f(x). В уравнении (1) нелинейность Q удовлетворяет следующим условиям:
\begin{equation*}
u(x)=\int_x^\infty\bigl(K(t-x)-K(t+x)\bigr)u^\alpha(t)\,dt,\qquad x\in \mathbb{R}^+,
\end{equation*}
\notag
а L_1^0(\mathbb{R}^+) – пространство суммируемых функций на \mathbb{R}^+ с нулевым пределом в бесконечности. Далее этот результат был усилен в работе [17]: доказана теорема о единственности решения уравнения (1) для общих нелинейностей Q, удовлетворяющих условиям a)–c), и ядер K, обладающих свойствами 1), 2), в следующем классе ограниченных на \mathbb{R}^+ функций:
\begin{equation*}
\mathfrak{M}:=\bigl\{f\in C(\mathbb{R}^+)\colon 0<f(x)\leqslant\eta,\, x>0,\, \eta-f\in L_1(\mathbb{R}^+)\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
Наконец, в недавней работе авторов (см. [18]) был исследован вопрос единственности неотрицательного и ограниченного решения уравнения (1), удовлетворяющего граничному условию \lim_{x\to+\infty}f(x)=\eta. Возникает естественный вопрос: является ли единственным любое неотрицательное нетривиальное и ограниченное решение уравнения (1)? В настоящей работе с использованием совершенно новых подходов удается ответить на этот вопрос для общих выпуклых нелинейностей, удовлетворяющих условиям a)–c), и ядерных функций со свойствами 1), 2). Из этого результата как частный случай получается окончательное решение открытой проблемы Владимирова о единственности роллингового решения нелинейных p-адических уравнений (см. [2]). При дополнительном ограничении на ядро K мы докажем также, что любое неотрицательное нетривиальное и ограниченное решение является выпуклой (вверх) функцией на множестве \mathbb{R}^+ и ее первая производная принадлежит пространству L_1(\mathbb{R}^+). В конце работы приведем также прикладные частные примеры уравнения (1) для иллюстрации важности полученных результатов. 2. Обозначения и вспомогательные фактыВо-первых, отметим, что в [17] одним из авторов настоящей работы доказано существование неотрицательного нетривиального непрерывного монотонно неубывающего и ограниченного на \mathbb{R}^+ решения уравнения (1), являющегося поточечным пределом следующих последовательных приближений:
\begin{equation}
\begin{gathered} \, Q(f_{n+1}(x))=\int_0^\infty \bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)f_n(t)\,dt, \\ f_0(x)\equiv\eta, \qquad n=0,1,2,\dots, \qquad x\in \mathbb{R}^+. \end{gathered}
\end{equation}
\tag{2}
Из свойств a)–c) нелинейности Q немедленно следует, что существует число \varepsilon\in(0,1) такое, что функциональное уравнение Q(u)=\varepsilon u, кроме нулевого решения, обладает положительным решением \xi, причем \xi<\eta. Зафиксируем число \varepsilon (и, следовательно, число \xi) и рассмотрим следующее характеристическое уравнение: относительно переменой p\geqslant0. Из условий 1) и 2) легко следует, что характеристическое уравнение (3) обладает единственным положительным решением p=p_\varepsilon. В [17] доказано также, что последовательные приближения (2) снизу ограничены функцией \xi(1-e^{-px}), x\in\mathbb{R}^+, и предельная функция f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x) удовлетворяет предельному соотношению \lim_{x\to+\infty}f(x)=\eta и обладает интегральной асимптотикой: Пусть теперь f^*(x) – произвольное неотрицательное нетривиальное и ограниченное на множестве \mathbb{R}^+ решение уравнения (1). Докажем следующие вспомогательные леммы.Доказательство. Действительно, непрерывность функции на множестве \mathbb{R}^+ следует из непрерывности свертки суммируемых и ограниченных функций (см. [19]). В силу условия 1) получаем также, что Следовательно, поскольку Q(u)\uparrow на \mathbb{R}^+ и Q\in C(\mathbb{R}^+), то из (1) заключаем, что f^*\in C(\mathbb{R}^+).Лемма 2. Функция f^*(x) удовлетворяет неравенству f^*(x)\leqslant \eta, x\in \mathbb{R}^+, где число \eta>0 определяется из условия a). Доказательство. Поскольку f^*(x) представляет собой ограниченную неотрицательную и тождественно ненулевую на \mathbb{R}^+ функцию, то существует причем С другой стороны, из условий 1) и 2) легко следует, что
\begin{equation}
K(x-t)\geqslant K(x+t),\qquad (x,t)\in \mathbb{R}^+\times \mathbb{R}^+,
\end{equation}
\tag{7}
причем
\begin{equation}
K(x-t)> K(x+t) \qquad\text{при}\quad (x,t)\in(0,+\infty)\times(0,+\infty).
\end{equation}
\tag{8}
Следовательно, учитывая (5)–(7), из (1) получим, что Q(f^*(x))\leqslant c, x\in \mathbb{R}^+. Из последнего неравенства в силу условий a)–c) приходим к оценке Q(c)\leqslant c. Убедимся, что c\leqslant \eta. Предположим, что c>\eta. Тогда, учитывая свойства a)–c), получаем, что Q(c)/c>Q(\eta)/\eta=1. Последнее неравенство противоречит оценке Q(c)\leqslant c. Следовательно f^*(x)\leqslant c\leqslant \eta, x\in \mathbb{R}^+. Заметим теперь, что из условий 1), 2) в силу леммы 1 имеем Q(f^*(0))=0. Так как Q(0)=0, Q\in C(\mathbb{R}^+) и Q(u)\uparrow на \mathbb{R}^+, то из равенства Q(f^*(0))=0 следует, что f^*(0)=0. Поскольку f^*(x)\geqslant 0, f^*(x)\not\equiv0, f^*(0)=0, то существует x_0>0 такое, что f^*(x_0)>0. Так как f^*\in C(\mathbb{R}^+) (см. лемму 1), то существует число \delta\in(0,x_0) такое, что m:=\inf_{x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)}f^*(x)>0. Принимая во внимание неравенство (8) и тот факт, что m>0, из (1) получим
\begin{equation}
Q(f^*(x))\geqslant m\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} \bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)\,dt>0, \qquad x\in(0,+\infty).
\end{equation}
\tag{9}
Согласно условию b) с учетом непрерывности функции Q на \mathbb{R}^+ из (9) следует, что
\begin{equation}
f^*(x)\geqslant Q^{-1}\biggl(m\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} \bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)\,dt\biggr):=\psi(x)>0, \qquad x>0.
\end{equation}
\tag{10}
Очевидно, что \psi(x)\leqslant \eta, x\in(0,+\infty). Ниже убедимся, что Действительно, из (10), во-первых, следует, что
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber 0\leqslant Q(\psi(x))&=m\int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} \bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)\,dt\leqslant m\int_{x-x_0-\delta}^{x-x_0+\delta}K(y)\,dy \\ &\leqslant m \int_{x-x_0-\delta}^\infty K(y)\,dy, \qquad x>0. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{12}
С другой стороны, в силу конечности первого момента ядра K (см. условие 2)) согласно теореме Фубини (см. [20]) можем утверждать, что
\begin{equation}
\chi(x):=m\int_{x-x_0-\delta}^\infty K(y)\,dy\in L_1(0,+\infty),
\end{equation}
\tag{13}
причем
\begin{equation*}
\int_0^\infty \chi(x)\,dx= \int_{-x_0-\delta}^\infty(y+x_0+\delta) K(y)\,dy<+\infty.
\end{equation*}
\notag
С учетом (12) и (13) приходим к (11). Из (10), a), b) и (12) следует также, что существует \lim_{x\to+\infty}\psi(x)=0. Итак, мы доказали следующую лемму. Лемма 3. Функция f^*(x) удовлетворяет неравенству (10), причем Имеет место также следующая Лемма 4. Если f(x) является неотрицательным нетривиальным монотонно неубывающим непрерывным и ограниченным на \mathbb{R}^+ решением уравнения (1), построенным при помощи последовательных приближений (2), то Доказательство. Действительно, согласно лемме 2 сперва имеем f_0(x)\geqslant f^*(x), x\in \mathbb{R}^+. Предположим, что f_n(x)\geqslant f^*(x), x\in \mathbb{R}^+, при некотором натуральном n. Тогда принимая во внимание (7), из (2) будем иметь
\begin{equation*}
Q(f_{n+1}(x))\geqslant \int_0^\infty \bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)f^*(t)\,dt=Q(f^*(x)), \qquad x\in \mathbb{R}^+,
\end{equation*}
\notag
откуда в силу условия b) получаем, что f_{n+1}(x)\geqslant f^*(x), x\in \mathbb{R}^+. Переходя к пределу в последнем неравенстве при n\to\infty, приходим к (14). Следующая лемма играет существенную роль в наших дальнейших рассуждениях. Лемма 5. Для неотрицательного (ненулевого) и ограниченного решения f^*(x) уравнения (1) справедливо следующее включение: f^*-Q(f^*)\in L_1(0,+\infty). Доказательство. Имея в виду утверждение леммы 2, условия a), b), 1) и 2), из (1) имеем
\begin{equation}
0\leqslant \eta-Q(f^*(x))\leqslant 2\eta\int_x^\infty K(y)\,dy+ \int_0^\infty K(x-t)(\eta-f^*(t))\,dt, \qquad x\in \mathbb{R}^+.
\end{equation}
\tag{15}
Так как f^*\in C(\mathbb{R}^+) (см. лемму 1), Q\in C(\mathbb{R}^+), то из (15) в силу (7), 1) и 2) для произвольного конечного R>0 согласно теореме Фубини получим
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0&\leqslant \int_0^R (\eta-Q(f^*(x)))\,dx\leqslant 2\eta \int_0^R \int_x^\infty K(y)\,dy\,dx+ \int_0^R \int_0^\infty K(x-t)(\eta-f^*(t))\,dt\,dx \\ &\leqslant 2\eta \int_0^\infty \int_x^\infty K(y)\,dy\,dx+ \int_0^R\int_0^R K(x-t)(\eta-f^*(t))\,dt\,dx \\ &\qquad+ \eta\int_0^R \int_R^\infty K(x-t)\,dt\,dx \\ &=2\eta \int_0^\infty y K(y)\,dy+ \int_0^R(\eta-f^*(t))\int_0^R K(x-t)\,dx\,dt+ \eta\int_0^R \int_R^\infty K(t-x)\,dt\,dx \\ &\leqslant 2\eta\int_0^\infty y K(y)\,dy+\int_0^R(\eta-f^*(t))\,dt+ \eta \int_0^R \int_{R-x}^\infty K(y)\,dy\,dx \\ &=2\eta\int_0^\infty yK(y)\,dy+\int_0^R (\eta-f^*(t))\,dt+ \eta\int_0^R \int_\tau^\infty K(y)\,dy\,d\tau \\ &\leqslant 2\eta \int_0^\infty yK(y)\,dy+\int_0^R (\eta-f^*(t))\,dt +\eta\int_0^\infty \int_\tau^\infty K(y)\,dy\,d\tau \\ &= 3\eta\int_0^\infty yK(y)\,dy+\int_0^R(\eta-f^*(t))\,dt, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
откуда в силу неравенства Q(f^*(x))\leqslant f^*(x), x\in \mathbb{R}^+ (см. лемму 2), получим
\begin{equation}
0\leqslant \int_0^R \bigl(f^*(t)-Q(f^*(t))\bigr)\,dt\leqslant 3\eta\int_0^\infty yK(y)\,dy.
\end{equation}
\tag{16}
В (16) устремляя число R\to+\infty, получаем, что и, следовательно, Используя включение (17), можно доказать следующую простую и одновременно полезную лемму. Лемма 6. Для решения f^*(x) уравнения (1) также имеет место включение Доказательство. Действительно, принимая во внимание утверждения лемм 2 и 5, свойства функции Q a)–c) и теорему Лагранжа о конечных приращениях, будем иметь (см. рис. 1, на котором показано, что из \alpha>\beta вытекает \operatorname{tg} \alpha=Q'(\eta)> \operatorname{tg} \beta=(Q(f^{*})-Q(Q(f^{*})))/(f^{*}-Q(f^{*})):
\begin{equation}
0\leqslant Q(f^*(x))-Q(Q(f^*(x)))\leqslant Q'(\eta)\bigl(f^*(x)-Q(f^*(x))\bigr)\in L_1(0,+\infty).
\end{equation}
\tag{19}
Следовательно, Q(f^*)-Q(Q(f^*))\in L_1(0,+\infty). В следующем пункте с использованием лемм 1–6 мы займемся вопросом единственности решения уравнения (1). 3. Единственность решенияОсновным результатом настоящей работы является следующая Теорема 1. При условиях a)–c) и 1), 2) уравнение (1) в классе неотрицательных и ограниченных на \mathbb{R}^+ функций имеет единственное решение. Доказательство. Ясно, что для доказательства теоремы достаточно проверить, что f^*(x)\equiv f(x), x\in \mathbb{R}^+, где f(x) является поточечным пределом последовательных приближений (2). В силу леммы 4 и условия b) из (1) имеем
\begin{equation}
0\leqslant Q(f(x))-Q(f^*(x))= \int_0^\infty \bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)(f(t)-f^*(t))\,dt, \qquad x\in \mathbb{R}^+.
\end{equation}
\tag{20}
Предположим теперь, что f^*(x)\not\equiv f(x), x\in \mathbb{R}^+. Так как f^*(0)=f(0) (см. доказательство леммы 3), то в силу леммы 1 существует число x^*>0 такое, что Из непрерывности функций f и f^* сразу следует, что существует число \delta_0\in (0,x^*) такое, что Введем следующее множество:
\begin{equation*}
\Omega:=\bigl\{x\in\mathbb{R}^+\colon f(x)-f^*(x)>0\bigr\}.
\end{equation*}
\notag
Поскольку (x^*-\delta_0,x^*+\delta_0)\subset\Omega, то \operatorname{mes}\Omega\geqslant 2\delta_0>0. Из леммы 5 в силу неравенств f(x)\leqslant \eta, x\in \mathbb{R}^+, (7) из условия 1) следует, что
\begin{equation}
\bigl(f^*(x)-Q(f^*(x))\bigr)\int_0^\infty\bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)(f(t)-f^*(t))\,dt\in L_1(0,+\infty).
\end{equation}
\tag{22}
Умножим обе части (20) на функцию f^*(x)-Q(f^*(x))\geqslant0, x\in \mathbb{R}^+, и интегрируем полученное равенство в пределах от 0 до +\infty. Тогда в силу включения (22), четности ядра K и теоремы Фубини будем иметь
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\int_0^\infty\bigl(f^*(x)-Q(f^*(x))\bigr)\bigl(Q(f(x))-Q(f^*(x))\bigr)\,dx \\ &\qquad=\int_0^\infty \bigl(f^*(x)-Q(f^*(x))\bigr)\int_0^\infty\bigl(K(x-t)- K(x+t)\bigr)(f(t)-f^*(t))\,dt\,dx \\ &\qquad=\int_0^\infty \bigl(f(t)-f^*(t)\bigr)\int_0^\infty\bigl(K(t-x)-K(t+x)\bigr)(f^*(x)-Q(f^*(x)))\,dx\,dt \\ &\qquad=\int_0^\infty \bigl(f(t)-f^*(t)\bigr)\biggl(Q(f^*(t))- \int_0^\infty\bigl(K(t-x)-K(t+x)\bigr)Q(f^*(x))\,dx\biggr)\,dt, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
ибо согласно (17) и условиям 1), 2), a)–c)
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0&\leqslant B(t):=Q(f^*(t))- \int_0^\infty\bigl(K(t-x)-K(t+x)\bigr)Q(f^*(x))\,dx \\ &\leqslant \int_0^\infty K(t-x)\bigl(f^*(x)-Q(f^*(x))\bigr)\,dx+ \eta \int_x^\infty K(y)\,dy\in L_1(0,+\infty). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Итак, мы получили следующее равенство:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\int_0^\infty\bigl(f^*(x)-Q(f^*(x))\bigr)\bigl(Q(f(x))-Q(f^*(x))\bigr)\,dx \\ &\qquad=\int_0^\infty\bigl(f(x)-f^*(x)\bigr)\biggl(Q(f^*(x))- \int_0^\infty \bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)Q(f^*(t))\,dt\biggr)\,dx. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{23}
Из определения измеримого множества \Omega сразу следует, что равенство (23) можно переписать в следующем виде:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\int_\Omega\bigl(f^*(x)-Q(f^*(x))\bigr)\bigl(Q(f(x))-Q(f^*(x))\bigr)\,dx \\ &\qquad=\int_\Omega\bigl(f(x)-f^*(x)\bigr)\biggl(Q(f^*(x))- \int_0^\infty\bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)Q(f^*(t))\,dt\biggr)\,dx. \end{aligned}
\end{equation}
\tag{24}
В последующих рассуждениях мы существенным образом будем использовать следующее утверждение из книги [21] (в [21] см. с. 182): Предположим, что 0\leqslant \alpha\leqslant \Gamma(x)\leqslant \beta, x>0, где число \beta может быть конечным или бесконечным, и что функция \Gamma(x) почти всюду на (0,+\infty) отлична от \alpha и \beta. Предположим далее, что весовая функция p(x) конечна, положительна всюду на (0,+\infty) и интегрируема. Тогда если Q''(u)>0 и конечна для \alpha<u<\beta, то
\begin{equation}
Q\biggl(\frac{\int_0^\infty\Gamma(t)p(t)\,dt} {\int_0^\infty p(t)\,dt}\biggr)\leqslant \frac{\int_0^\infty Q(\Gamma(t))p(t)\,dt}{\int_0^\infty p(t)\,dt}\,,
\end{equation}
\tag{25}
когда правая часть существует и конечна. Равенство имеет место только в том случае, когда \Gamma(t)=\mathrm{const}. Таким образом, если при всяком фиксированном x\in\Omega (очевидно, что 0\notin\Omega, ибо f^*(0)=f(0)=0) выбрать в качестве весовой функции p(t) (см. оценку (8)) в качестве \alpha выбрать \alpha=0, в качестве \beta выбрать \beta=\eta, а в качестве \Gamma(x) взять \Gamma(x)=f^*(x), то из (25) при каждом фиксированном x\in\Omega получим
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\int_0^\infty \bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)Q(f^*(t))dt \\ &\qquad\geqslant \int_0^\infty \bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)\,dt \cdot Q\biggl(\frac{\int_0^\infty \bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)f^*(t)\,dt} {\int_0^\infty \bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)\,dt}\biggr). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{26}
С другой стороны, из свойств a)–c) функции Q легко следует, что для любых v\in [0,1] и u\in (0,+\infty) имеет место неравенство (см. рис. 2 на котором показано, что из (Q(u v)+\varepsilon_0)/Q(u)=v, \varepsilon_0 >0, вытекает vQ(u) \geqslant Q(uv)): Так как при всяком фиксированном x\in\Omega
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \int_0^\infty\bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)\,dt&\in (0,1), \\ \frac{\int_0^\infty \bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)f^*(t)\,dt} {\int_0^\infty\bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)\,dt}&\in(0,+\infty) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
(f^*(t)>0, t\in (0,+\infty) в силу леммы 3), то принимая во внимание (27), при каждом фиксированном x\in \Omega получаем, что
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &Q\biggl(\frac{\int_0^\infty \bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)f^*(t)\,dt} {\int_0^\infty \bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)\,dt}\biggr) \int_0^\infty\bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)\,dt \\ &\qquad\geqslant Q\biggl(\int_0^\infty\bigl(K(x-t)- K(x+t)\bigr)f^*(t)\,dt\biggr)=Q(Q(f^*(x))). \end{aligned}
\end{equation}
\tag{28}
Таким образом, в силу (26) и (28) из (24) приходим к следующему неравенству:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\int_\Omega \bigl(f^*(x)-Q(f^*(x))\bigr)\bigl(Q(f(x))-Q(f^*(x))\bigr)\,dx \\ &\qquad\leqslant\int_\Omega\bigl(f(x)-f^*(x)\bigr)\bigl(Q(f^*(x))-Q(Q(f^*(x)))\bigr)\,dx, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{29}
причем интеграл в правой части неравенства (29) конечен в силу леммы 6. Из определения множества \Omega сразу вытекает, что (29) можно переписать в следующем виде:
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \nonumber &\int_\Omega \bigl(f(x)-f^*(x)\bigr)\bigl(f^*(x)-Q(f^*(x))\bigr) \\ &\qquad\qquad\times\biggl(\frac{Q(f(x))-Q(f^*(x))}{f(x)-f^*(x)}- \frac{Q(f^*(x))-Q(Q(f^*(x)))}{f^*(x)-Q(f^*(x))}\biggr) dx\leqslant0, \end{aligned}
\end{equation}
\tag{30}
ибо f(x)>f^*(x)\geqslant \psi(x)>0, x\in \Omega и f^*(x)>Q(f^*(x)), x\in\Omega (см. формулировку леммы 3). С другой стороны, согласно свойствам a)–c) для функции Q имеет место следующее неравенство (см. рис. 3 на котором показано, что из \theta_2> \theta_1 вытекает \operatorname{tg} \theta_2=(Q(f)-Q(f^*))/(f-f^*)> \operatorname{tg} \theta_1= (Q(f^*)-Q(Q(f^*)))/(f^*-Q(f^*))):
\begin{equation}
\frac{Q(f(x))-Q(f^*(x))}{f(x)-f^*(x)}> \frac{Q(f^*(x))-Q(Q(f^*(x)))}{f^*(x)-Q(f^*(x))}, \qquad x\in\Omega,
\end{equation}
\tag{31}
ибо Из (30), (31) и (32) приходим к противоречию. Следовательно, учитывая непрерывность функций f и f^* на множестве \mathbb{R}^+, получаем, что f(x)\equiv f^*(x), x\in \mathbb{R}^+. Таким образом, теорема полностью доказана. 4. О некоторых качественных свойствах решения уравнения (1)Ниже при одном дополнительном ограничении на ядро K мы докажем, что для любого неотрицательного (нетривиального) и ограниченного на \mathbb{R}^+ решения f уравнения (1) существует f'(x) на (0,+\infty), причем f'\in L_1(0,+\infty). Более того, решение представляет собой выпуклую вверх на \mathbb{R}^+ функцию. Имеет место Теорема 2. При условиях теоремы 1 если дополнительно K\in C^1(\mathbb{R}), то для любого неотрицательного (ненулевого) и ограниченного на \mathbb{R}^+ решения f уравнения (1) существует f'(x), x\in(0,+\infty), причем f'\in L_1(0,+\infty). Доказательство. Во-первых, заметим, что в силу теоремы 1 достаточно доказать, что решение f(x)=\lim_{n\to\infty} f_n(x) имеет первую производную в каждой точке интервала (0,+\infty), причем f'\in L_1(0,+\infty). Теперь, принимая во внимание условия a)–c), уравнение (1) запишем в следующем виде:
\begin{equation}
f(x)=Q^{-1}\biggl(\int_0^\infty\bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)f(t)\,dt\biggr), \qquad x\in \mathbb{R}^+.
\end{equation}
\tag{33}
Обозначим через
\begin{equation}
\gamma(x):=\int_0^\infty\bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)f(t)\,dt, \qquad x\in \mathbb{R}^+.
\end{equation}
\tag{34}
Так как K\in C^1(\mathbb{R}), удовлетворяет условиям 1), 2), а f\in C_M(\mathbb{R}^+), то существует
\begin{equation*}
\gamma'(x)= \int_0^\infty\bigl(K_x'(x-t)-K_x'(x+t)\bigr)f(t)\,dt, \qquad x\in(0,+\infty),
\end{equation*}
\notag
причем в силу леммы 2
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, |\gamma'(x)|&\leqslant \eta\biggl(\int_0^\infty |K_x'(x-t)|\,dt+ \int_0^\infty|K_x'(x+t)|\,dt\biggr) \\ &=\eta \biggl(\int_{-\infty}^0 K'(y)\,dy-\int_0^x K'(y)\,dy- \int_x^{\infty} K'(y)\,dy\biggr)=2\eta K(0), \qquad x\in(0,+\infty). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
С другой стороны, поскольку f(x)>0 при x\in(0,+\infty), то в силу условий a)–c) в каждой точке x\in(0,+\infty): Следовательно, согласно теореме о производной обратной функции в любой точке множества (0,+\infty) существует Принимая во внимание (33), заключаем, что в каждой точке x\in(0,+\infty) существует f'(x). Поскольку 0\leqslant f\in C_M(\mathbb{R}^+), f(0)=0 и f(+\infty)=\eta, то f'\in L_1(0,+\infty). Справедлива также следующая Теорема 3. При условиях теоремы 1 если K\in C^1(\mathbb{R}), то любое нетривиальное неотрицательное и ограниченное на множестве \mathbb{R}^+ решение уравнения (1) является выпуклой вверх функцией на \mathbb{R}^+. Доказательство. Действительно, согласно теореме 1 нам достаточно доказать, что решение уравнения (1), построенное при помощи последовательных приближений (2), обладает свойством выпуклости вверх на \mathbb{R}^+. С этой целью индукцией по n сначала докажем, что Пусть n=1. Тогда из (2) в силу условий a)–c) и 1), 2) имеем
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} f_1'(x)Q'(f_1(x))&=2\eta K(x)>0,&\qquad x&\in(0,+\infty), \\ f_1''(x)Q'(f_1(x))+(f_1'(x))^2 Q''(f_1(x))&=2\eta K'(x)<0,&\qquad x&\in(0,+\infty), \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
откуда ввиду положительности Q'(u) и Q''(u) получаем, что f_1''(x)<0, x\in(0,+\infty). Предположим, что f_n''(x)<0, x\in(0,+\infty), при некотором натуральном n. Тогда если последовательные приближения (2) переписать в следующем виде:
\begin{equation}
\begin{gathered} \, Q(f_{n+1}(x))=\int_{-\infty}^x K(y)f_n(x-y)\,dy- \int_x^{\infty} K(y) f_n(y-x)\,dy, \\ f_0(x)\equiv\eta,\qquad n=0,1,2,\dots,\qquad x\in \mathbb{R}^+, \end{gathered}
\end{equation}
\tag{37}
и при этом учитывать условия a)–c), 1), 2), K\in C^1(\mathbb{R}), из (37) будем иметь
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &f_{n+1}'(x)Q'(f_{n+1}(x)) \\ &\qquad=K(x)f_n(0)+\int_{-\infty}^x K(y) f_n'(x-y)\,dy +K(x)f_n(0)+\int_x^{\infty} K(y) f_n'(y-x)\,dy \\ &\qquad=\int_{-\infty}^x K(y) f_n'(x-y)\,dy+ \int_x^{\infty} K(y) f_n'(y-x)\,dy, \qquad x\in(0,+\infty), \\ &f_{n+1}''(x)Q'(f_{n+1}(x))+ (f_{n+1}'(x))^2Q''(f_{n+1}(x)) \\ &\qquad=K(x)f_n'(0)+ \int_{-\infty}^x K(y) f_n''(x-y)\,dy -K(x)f_n'(0)-\int_x^{\infty} K(y) f_n''(y-x)\,dy \\ &\qquad=\int_0^\infty\bigl(K(x-t)-K(x+t)\bigr)f_n''(t)\,dt<0,\qquad x\in(0,+\infty) \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
(последнее неравенство имеет место в силу индукционного предположения и неравенства (8)). Так как Q'(u)>0 и Q''(u)>0, то из полученного выше неравенства следует, что f_n''(x)<0, x\in(0,+\infty). Итак, каждый элемент последовательности функций \{f_n(x)\}_1^\infty является выпуклой вверх функцией на \mathbb{R}^+. Следовательно, для любых x,y\in[0,+\infty) и \alpha\in[0,1] имеет место
\begin{equation}
f_n(\alpha x+(1-\alpha)y)\geqslant \alpha f_n(x)+(1-\alpha)f_n(y),\qquad n=1,2,\dots\,.
\end{equation}
\tag{38}
В (38), устремляя n\to\infty, получаем, что решение f(x)=\lim_{n\to\infty}f_n(x) удовлетворяет условию выпуклости вверх: f(\alpha x+(1-\alpha)y)\geqslant \alpha f(x)+(1-\alpha)f(y). 5. Приложения1. В динамической теории p-адических открыто-замкнутых струн для скалярного поля тахионов возникает необходимость построения нечетного и ограниченного решения для следующего интегрального уравнения сверточного типа со степенной нелинейностью:
\begin{equation}
F^p(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{-(x-t)^2}F(t)\,dt,\qquad x\in \mathbb{R},
\end{equation}
\tag{39}
где p>2 – нечетное число (см. [2]). Прямой проверкой можно убедиться, что если f(x) является нетривиальным неотрицательным и ограниченным на \mathbb{R}^+ решением нелинейного интегрального уравнения с суммарно-разностным ядром:
\begin{equation}
f^p(x)=\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_0^\infty (e^{-(x-t)^2}- e^{-(x+t)^2})f(t)\,dt,\qquad x\in \mathbb{R}^+,
\end{equation}
\tag{40}
то нечетное продолжение данного решения на отрицательную часть числовой оси
\begin{equation*}
F(x)=\begin{cases} f(x), & \text{если} \ x\geqslant0, \\ -f(-x), & \text{если}\ x<0, \end{cases}
\end{equation*}
\notag
будет решением уравнения (39). Более того, если F(x) нечетное нетривиальное и ограниченное решение уравнения (39), то функция f(x)=F(x), x\in \mathbb{R}^+ будет решением интегрального уравнения (40). Легко заметить, что ядро K(x)=(1/\sqrt{\pi}\,)e^{-x^2} удовлетворяет всем условиям 1), 2) и K\in C^1(\mathbb{R}), а нелинейность Q(u)=u^p обладает свойствами a)–c). В силу нечетности числа p очевидно, что уравнению (39), кроме решения F(x), удовлетворяют также функции: F^*(x)=-F(x), F_c(x):=F(x+c), c\in \mathbb{R}. Однако, как было отмечено в работе [2], физическое решение данного уравнения должно быть нечетной ограниченной функцией, удовлетворяющей граничным условиям \lim_{x\to\pm\infty}F(x)=\pm1. С этой точки зрения единственность неотрицательного нетривиального и ограниченного на \mathbb{R}^+ решения уравнения (40), а также доказанные качественные свойства этого решения (см. теоремы 2 и 3) являются весьма важными аспектами. 2. В математической теории географического распространения эпидемии в рамках модели Дикмана–Капера (см. [4]) встречаются следующие классы нелинейных интегральных уравнений:
\begin{equation}
u(t,x)=\int_0^\infty H(\tau)\int_{-\infty}^\infty g(u(t-\tau,\xi)) V(x-\xi)\,d\xi\,d\tau,\qquad -\infty<t\leqslant T<+\infty,\quad x\in \mathbb{R},
\end{equation}
\tag{41}
относительно искомой функции u(t,x), где
\begin{equation*}
S(t,x)=S_0 e^{-u(t,x)},\qquad S_0:=S(-\infty,x)=\mathrm{const},
\end{equation*}
\notag
представляет собой плотность числа восприимчивых лиц в момент времени t в точке x\in \mathbb{R}, а функция H(\tau)V(x-\xi) – плотность вероятности заражения восприимчивого лица, находящегося в точке x от лица, находящегося в точке \xi, заразившегося в момент времени \tau. В данной конкретной задаче нелинейность g имеет следующую структуру:
\begin{equation}
g(u)=\begin{cases} \gamma(1-e^{-u}), & \text{если} \ u\geqslant0, \\ \gamma(e^u-1), & \text{если} \ u<0, \end{cases}
\end{equation}
\tag{42}
где \gamma>1 – числовой параметр. При этом условие \gamma>1 означает, что эффект воздействия инфекции ощущается во всех точках x, сколь бы ни было мало начальное заражение. Предполагаются, что функции H и V удовлетворяют следующим ограничениям:
\begin{equation*}
\begin{alignedat}{2} &U_1)&&\qquad H(\tau)>0,\quad \tau\in\mathbb{R}^+,\qquad \int_0^\infty H(\tau)\,d\tau=1; \\ &U_2)&&\qquad V(x)>0,\quad x\in\mathbb{R},\qquad V\in C_M(\mathbb{R})\cap L_1(\mathbb{R}),\qquad V(-x)=V(x),\quad x\geqslant 0; \\ &U_3)&&\qquad \int_0^\infty V(x)\,dx=\frac{1}{2}, \qquad \int_0^\infty x^2 V(x)\,dx<+\infty. \end{alignedat}
\end{equation*}
\notag
Несложно проверить, что обратная функция к функции g допускает следующее представление:
\begin{equation}
Q(u)=\begin{cases} \ln\dfrac{\gamma}{\gamma-u}\,, & u\in[0,\gamma), \\ -\ln\dfrac{\gamma}{\gamma+u}\,, & u\in(-\gamma,0), \end{cases}
\end{equation}
\tag{43}
и если f(x) является неотрицательным нетривиальным и ограниченным решением уравнения (1) с ядром K=V и с нелинейностью (43), то функция
\begin{equation*}
u(t,x)=\begin{cases} Q(f(x)), & x\geqslant0, \\ -Q(f(-x)), & x<0 \end{cases}
\end{equation*}
\notag
будет стационарным решением уравнения (41).
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{PetKha23}
Эта публикация цитируется в следующих 7 статьяx:
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|