Точная по порядку старшего показателя оценка производной степенного квазиполинома в $L_2[0,1]$

Доказано, что для любой последовательности функций
$$f_N(x)=a_0+\sum_{\gamma\in\Gamma_N}\sum_{k=0}^{\mathcal K^N_\gamma -1}a_{\gamma,k^{x^\gamma}}(\ln x)^k,$$
где $\Gamma_N\in[1/2+\varepsilon,N]$, $\varepsilon>0$, $N>1/2+\varepsilon$, $\mathcal K^N_\gamma\in N$ таковы, что при некотором $a>0$ найдется такое $m\in N\cap[a,\infty)$, для которого
$$\max_{x\in R}\sum_{\gamma\in\Gamma_N\cap(x,x+a]}\mathcal K^N_\gamma\le m,$$
справедливо неравенство
$$\|f'_N\|_{L_2[0,1]}\le cN^{2m/a}\|f_N\|_{L_2[0,1]},$$
где $c>0$ зависит лишь от $a$, $m$, $\varepsilon$.