О погрешностях метода Гаусса решения линейных алгебраических систем

$Ax=f$ – линейная алгебраическая система с неособенной матрицей $A$ порядка $n\times n$; для решения этой системы применяется схема “единственного деления по наибольшему элементу” метода Гаусса. По этому методу матрица $\bar A$, получаемая из $A$ некоторой перестановкой ее строк и столбцов, разлагается в произведение $\bar A=L^{-1}U$, где $U$ и $L$ – треугольные матрицы, соответственно верхняя и нижняя, и главная диагональ матрицы $L$ состоит из единиц.
При прямом ходе метода Гаусса возникает погрешность искажения вектора решений $x$, а при обратном ходе – погрешность искаженного вектора решений $z$. Для погрешности искажения вектора $x$ получена оценка
$$\begin{equation} (\|A^{-1}\|/(1-\beta))\sqrt{n(n+1)/2}(\|\Gamma\|\,\|x\|+\|\delta\|), \tag{1} \end{equation}$$
а для погрешности округления вектора $z$ – оценка
$$\begin{equation} (\|A^{-1}\|/(1-\beta))n\sqrt{(n+1)/2}\varepsilon. \tag{2} \end{equation}$$
Здесь $\beta$ – произвольное число из интервала $(0,1)$, $\Gamma$ – искажение матрицы $U$, $\delta$ – искажение столбца свободных членов системы $U\bar x=\widetilde{Lf}$, к которой приводит прямой ход метода Гаусса, $\varepsilon$ – положительное число, характеризующее точность вычислений при обратном ходе. Матрица $\Gamma$ подчинена неравенству $\|\Gamma\|\,\|A^{-1}\sqrt{n(n+1)/2}\le\beta$. Общая погрешность вектора решений оценивается суммой величин (1) и (2). Библ. 7.