Сравнение по модулю, равному степени простого числа

С помощью метода $p$-адических разложений исследуется количество решений сравнения $F(x,y)\equiv0\pmod{p^m}$ где $p$ — простое число, a $F(x,y)$ — абсолютно неприводимый многочлен с целыми рациональными коэффициентами, на коротких участках системы вычетов$\mod p^m$. Обозначим через $D(x)$ дискриминант многочлена $F(x,y)$, а через $c_1$, $c_2$ — положительные константы, зависящие только от $F(x,y)$. Автором доказана следующая
Теорема. {\em Пусть $m>c_1$ — натуральное число,
$$p^{(m-1)/\{[c_2(m-1)-n]-1\}}\le T_1\le p^m,\quad1\le T_2\le p^m.$$
Обозначим через $N(T_1,T_2)$ количество решений сравнения $F(x,y)\equiv0\pmod{p^m}$ таких, что $D(x)\not\equiv0\pmod p$, для которых $0\le x\le T_1-1$, $0\le y\le T_2$.
Тогда для величины $N(T_1,T_2)$ имеем следующее выражение:
$$N(T_1,T_2)=\frac{T_1T_2}{p^m}\,\frac{p+O(p^{1/2})}p+O(e^{7m\ln^2m}T_s^{1-1/12m^2\ln12m^3}),$$
где постоянные, входящие в символ О, зависят только от многочлена $F(x,y)$}.