| Известия Российской академии наук. Серия математическая |
|
|
|
|
|
Эта публикация цитируется в 7 научных статьях (всего в 7 статьях) О разрешимости полулинейных эллиптических уравнений второго порядка на замкнутых многообразиях Д. В. Туницкийab a Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова Российской академии наук, г. Москва b Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, г. Москва
Англоязычная версия:
Izvestiya: Mathematics, 2022, Volume 86, Issue 5, Pages DOI: https://doi.org/10.1070/IM9261 
Реферативные базы данных:
     ВведениеЭволюционные уравнения вида где – эллиптический линейный дифференциальный оператор второго порядка, широко используются при математическом моделировании разнообразных процессов реакции–диффузии. В частности, для описания концентрации и распространения веществ, а также баланса и продвижения биологических популяций и генных признаков. Эта тематика представляет значительный интерес и ей посвящено большое количество работ. Пионерскими работами здесь являются знаменитые статьи А. Н. Колмогорова, Г. И. Петровского, Н. С. Пискунова [1] и Р. А. Фишера [2], в которых изучается однородный случай уравнения (0.1), когда Lu=−∑nl=1(∂2u/(∂xl)2) и f(x,u)=f(u). Отметим статью [3], содержащую подробную информацию по истории и библиографии исследований в указанном направлении.В случае, когда решение u=u(t,x) уравнения (0.1), (0.2) имеет вид левая часть этого уравнения принимает вид В частности, в стационарном случае, когда λ=0, решение не зависит от времени и u=u(x) удовлетворяет полулинейному эллиптическому уравнению Исследованию существования, регулярности и единственности решений для аналогов уравнения (0.4) на произвольных замкнутых многообразиях X конечной размерности n посвящена данная статья. Среди работ, в которых осуществляются сходные исследования, снова отметим статью [3], в которой изучается уравнение (0.4) с оператором L, имеющим периодические коэффициенты. Этот случай сводится к уравнению на многообразии, диффеоморфном n-мерному тору Tn, и имеет большое прикладное значение. Значительный интерес представляют и аналоги уравнения (0.4) на других замкнутых многообразиях, в частности, на многообразиях, диффеоморфных n-мерной сфере Sn.В связи с этим заметим, что согласно обобщенной гипотезе Пуанкаре сфере Sn гомеоморфны все гомотопически эквивалентные ей замкнутые многообразия. Наибольшие затруднения при установлении истинности этой гипотезы связаны с размерностью n=3. В этом случае доказательство, предложенное Г. Я. Перельманом, основано на исследовании потоков Риччи на замкнутых трехмерных многообразиях, см. [4], [5]. А эти потоки, по сути, являются решениями соответствующих нелинейных систем дифференциальных уравнений с частными производными. Таким образом, изучение решений нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными на замкнутых многообразиях весьма важно и актуально как с прикладной, так и с общематематической точек зрения. Следует отметить, что в целом ряде прикладных задач в правые части уравнений (0.1) и (0.4) могут входить члены, которые могут быть не только негладкими, но даже и не непрерывными. Поэтому желателен выбор такого класса допустимых решений, который позволял бы построить удовлетворительную теорию разрешимости рассматриваемых уравнений при минимальных требованиях на регулярность их коэффициентов. В качестве такого класса в данной работе выступают слабые решения. В этом классе удается исследовать разрешимость аналогов неоднородного уравнения (0.4) на замкнутых многообразиях при довольно невысоких требованиях на регулярность их коэффициентов. В частности, некоторые из этих коэффициентов могут быть не только разрывными, но и обобщенными функциями. Естественно, что повышение класса регулярности коэффициентов соответствующим образом повышает и класс регулярности решений. § 1. Функциональные пространства тензорных полейБудем обозначать через X n-мерное гладкое замкнутое риманово многообразие, т. е. связное компактное многообразие без края с метрикой g:TX×TX→R. Метрики, индуцированные на тензорных расслоениях (TX)⊗m⊗(T∗X)⊗l, m,l=0,1,2,…, этого многообразия посредством g, будем обозначать той же буквой g, при этом под (TX)⊗0⊗(T∗X)⊗0 понимается тривиальное расслоение X×R с g(r,t)=rt для r,t∈R. Метрика g индуцирует на многообразии X меру V=Vg и связность Леви-Чивита со взаимно однозначно определяемым ею оператором ковариантного дифференцирования ∇=∇g. 1.1. Пространства СоболеваС помощью метрики g и меры V для m,l=0,1,2,… определяются нормы тензорных полей где для функций u и v и банаховы пространства
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, L^p\bigl((TX)^{\otimes^m}\otimes(T^* X)^{\otimes^l}\bigr) &=\bigl\{s\colon X\ni x \mapsto s(x) \in (T_x X)^{\otimes^m}\otimes (T_x^* X)^{\otimes^l}\bigm| \\ &\qquad\|s\|_{L^p((TX)^{\otimes^m}\otimes (T^* X)^{\otimes^l})}<+\infty\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Пространства L^2\bigl((TX)^{\otimes^m}\otimes(T^* X)^{\otimes^l}\bigr) являются гильбертовыми со скалярными произведениями \langle s_1,s_2\rangle_{L^2((TX)^{\otimes^m}\otimes(T^* X)^{\otimes^l})}= \langle g(s_1,s_2),1\rangle. Положим L^p(X)=L^p\bigl((TX)^{\otimes^0}\otimes(T^* X)^{\otimes^0}\bigr), так что \langle u,v\rangle_{L^2(X)}=\langle u,v\rangle. Кратное ковариантное дифференцирование
\begin{equation*}
\nabla^j\colon C^\infty\bigl((TX)^{\otimes^m}\otimes(T^* X)^{\otimes^l}\bigr) \ni s \mapsto \nabla^j s \in C^\infty\bigl((TX)^{\otimes^m}\otimes (T^* X)^{\otimes^{l+j}}\bigr)
\end{equation*}
\notag
позволяет для m,l=0,1,2,\dots определить нормы
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\|u\|_{W^{k,p}((TX)^{\otimes^m}\otimes(T^* X)^{\otimes^l})} \\ &\qquad=\biggl(\sum_{j=0}^k\|\nabla^j s\|_{L^p((TX)^{\otimes^m} \otimes (T^* X)^{\otimes^{l+j}})}^p\biggr)^{1/p},\qquad p \geqslant 1, \\ &\|u\|_{W^{k,\infty}((TX)^{\otimes^m}\otimes(T^* X)^{\otimes^l})} \\ &\qquad=\sum_{j=0}^k\|\nabla^j s\|_{L^\infty((TX)^{\otimes^m} \otimes (T^* X)^{\otimes^{l+j}})}, \qquad k=0,1,2,\dots, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
и пространства Соболева
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, W^{k,p}\bigl((TX)^{\otimes^m}\otimes(T^* X)^{\otimes^l}\bigr) &=\bigl\{s\colon X \ni x \mapsto s(x) \in (T_x X)^{\otimes^m}\otimes (T_x^* X)^{\otimes^l}\bigm| \\ &\qquad \|s\|_{W^{k,p}((TX)^{\otimes^m}\otimes (T^* X)^{\otimes^l})}<+\infty\bigr\}. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Эти пространства являются пополнением пространства бесконечно дифференцируемых тензорных полей C^\infty\bigl((TX)^{\otimes^m}\otimes (T^* X)^{\otimes^l}\bigr) относительно введенных выше норм, см., например, [6; п. 10.2.4] и [7; § 7.6]. Пространства W^{k,2}\bigl((TX)^{\otimes^m}\otimes(T^* X)^{\otimes^l}\bigr) являются гильбертовыми со скалярными произведениями
\begin{equation*}
\langle s_1,s_2\rangle_{W^{k,2}((TX)^{\otimes^m}\otimes(T^* X)^{\otimes^l})}= \sum_{j=0}^k\langle \nabla^j s_1,\nabla^j s_2\rangle_{L^2((TX)^{\otimes^m} \otimes(T^* X)^{\otimes^{l+j}})}.
\end{equation*}
\notag
Очевидно, что W^{0,p}\bigl((TX)^{\otimes^m}\otimes(T^* X)^{\otimes^l}\bigr)= L^p\bigl((TX)^{\otimes^m}\otimes(T^* X)^{\otimes^l}\bigr). Положим
\begin{equation*}
W^{k,p}(X)=W^{k,p}\bigl((TX)^{\otimes^0}\otimes(T^* X)^{\otimes^0}\bigr).
\end{equation*}
\notag
1.2. Пространства ГёльдераВ силу компактности многообразия X метрика g полна, так что по теореме Хопфа–Ринова любые две точки x_1,x_2\,{\in}{\kern1pt}X можно соединить минимизирующей геодезической кривой \gamma_{x_1,x_2} длины d(x_1,x_2). Для всякого тензорного поля s на X положим
\begin{equation*}
[s]_\alpha=\sup_{x_1,x_2 \in X}\frac{\sqrt{g\bigl(s(\tau_{x_2,x_1}(x_1))- s(x_2),s(\tau_{x_2,x_1}(x_1))-s(x_2)\bigr)}}{d^\alpha(x_1,x_2)},
\end{equation*}
\notag
где 0<\alpha \leqslant 1 и \tau_{x_2,x_1}\colon (T_{x_1}X)^{\otimes^m} \otimes (T_{x_1}^* X)^{\otimes^l} \to (T_{x_2}X)^{\otimes^m}\otimes (T_{x_2}^* X)^{\otimes^l} – параллельный перенос вдоль кривой \gamma_{x_1,x_2} из x_1 в x_2. Определим нормы
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \|s\|_{C^{k,\alpha}((TX)^{\otimes^m}\otimes (T^* X)^{\otimes^l})}= \|s\|_{C^k((TX)^{\otimes^m}\otimes(T^* X)^{\otimes^l})}+ [\nabla^k s]_\alpha, \\ k=0,1,2,\dots, \qquad 0<\alpha \leqslant 1, \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
где \|s\|_{C^k((TX)^{\otimes^m}\otimes(T^* X)^{\otimes^l})}= \|s\|_{W^{k,\infty}((TX)^{\otimes^m}\otimes(T^* X)^{\otimes^l})} – норма в пространстве k-гладких тензорных полей C^k\bigl((TX)^{\otimes^m}\otimes(T^* X)^{\otimes^l}\bigr), k=0,1,2,\dots, и пространства Гёльдера
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &C^{k,\alpha}\bigl((TX)^{\otimes^m}\otimes(T^* X)^{\otimes^l}\bigr) \\ &\qquad=\bigl\{s \in C^k\bigl((TX)^{\otimes^m}\otimes(T^* X)^{\otimes^l}\bigr) \bigm| \|s\|_{C^{k,\alpha}((TX)^{\otimes^m}\otimes(T^* X)^{\otimes^l})} <+\infty\bigr\}, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
см., например, [6; п. 10.2.4] и [7; § 4.1]. Ясно, что
\begin{equation*}
C^{k,1}\bigl((TX)^{\otimes^m}\otimes(T^* X)^{\otimes^l}\bigr)= W^{k+1,\infty}\bigl((TX)^{\otimes^m}\otimes(T^* X)^{\otimes^l}\bigr).
\end{equation*}
\notag
Положим C^{k,\alpha}(X)=C^{k,\alpha}\bigl((TX)^{\otimes^0}\otimes (T^* X)^{\otimes^0}\bigr).
§ 2. Основные результаты2.1. Постановка задачиДля краткости будем использовать сокращение п. в., когда речь идет о выполнении каких-либо свойств почти всюду по мере V=V_g. Предположим, что наряду с g на римановом многообразии X задана еще одна метрика a. Пусть она измерима и существуют такие положительные числа a_0 и a_1, что п. в.
\begin{equation}
a_0 g(\eta,\eta)\leqslant a(\eta,\eta) \leqslant a_1 g(\eta,\eta)
\end{equation}
\tag{2.1}
при всех \eta \in T^* X. Рассмотрим операторы d_a^* и d_g^*, формально сопряженные с оператором внешнего дифференцирования d относительно метрик a и g соответственно, см. [8; гл. VIII, § 1]. В частности, \langle a(du,v),1\rangle=\langle a(u,d_a^* v),1\rangle для всех дифференциальных k-форм u и (k+1)-форм v, k=0,1,\dots,n-1, и если многообразие X ориентируемо, то d_a^*=*d*, где * = *_a – оператор Ходжа, индуцированный метрикой a. Определим на функциях u\in C^\infty(X) линейный дифференциальный оператор второго порядка где \Delta=\Delta_a=d_a^*\circ d – геометрический лапласиан (оператор Лапласа–де Рама, см. [9; гл. IV, § 5]), а b и c – измеримые и ограниченные относительно метрики g векторное поле и линейная дифференциальная форма на X. В этом контексте условие (2.1) означает, что оператор (2.2) равномерно эллиптичен на многообразии X. Рассмотрим измеримую функцию
\begin{equation}
f\colon X \times \mathbb{R} \ni (x,r) \mapsto f(x,r)\in \mathbb{R},
\end{equation}
\tag{2.3}
которая п. в. локально липшицева по переменной u, т. е. для любого r \in \mathbb{R} найдется такая положительная постоянная \mu_0=\mu_0(r), что п. в.
\begin{equation}
|f(\,\cdot\,,r_1)-f(\,\cdot\,,r_2)|\leqslant \mu_0(r)|r_1-r_2|
\end{equation}
\tag{2.4}
для r_1,r_2 \in [-r,r]. Слабым или обобщенным решением уравнения где h – измеримая ограниченная линейная дифференциальная форма на многообразии X, называется такая функция u \in W^{1,2}(X), что f(\,{\cdot}\,,u)\in L^2(X) и
\begin{equation}
\mathcal{L}(u,v)=\langle f(\,\cdot\,,u),v\rangle+ \langle h,dv\rangle_{L^2(T^* X)}
\end{equation}
\tag{2.6}
для всякой функции v \in C^\infty(X), где \mathcal{L} – непрерывная билинейная форма
\begin{equation}
\mathcal{L}\colon W^{1,2}(X) \times C^\infty(X) \ni (u,v)\mapsto \langle a(du,dv),1\rangle+\langle bu,v\rangle+ \langle uc,dv\rangle_{L^2(T^* X)} \in \mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{2.7}
Отметим, что при наложенных на входные данные уравнения (2.5) требованиях, вообще говоря, не все его коэффициенты являются обычными функциями. Это связано с тем, что производные коэффициентов метрики a и линейных дифференциальных форм c и h могут оказаться обобщенными функциями. Например, если коэффициентами форм a, c и h служат характеристические функции множеств с регулярной границей, то уравнение (2.5) будет включать в себя соответствующие условия на значения неизвестной функции u и ее первых производных на границах этих множеств, см. [10; § 6.1]. Замечание 1. Согласно условию (2.7) для всякого r \in \mathbb{R} имеем \mathcal{L}(r,v)=r\langle c,dv\rangle_{L^2(T^* X)}, и поэтому по определению (2.6) постоянная функция u=r тогда и только тогда является слабым решением уравнения (2.5), когда \theta(r,v)=0 для любой функции v \in C^\infty(X), где
\begin{equation}
\theta\colon \mathbb{R}\times C^\infty(X) \ni (r,v) \mapsto r\langle c,dv\rangle_{L^2(T^* X)}-\langle f(\,\cdot\,,r),v\rangle- \langle h,dv\rangle_{L^2(T^* X)} \in \mathbb{R}.
\end{equation}
\tag{2.8}
Понятно, что значением функционала \theta является разность между левой и правой частями уравнения (2.6) при u=r. Замечание 2. При фиксированном r функционал \theta(r,\,\cdot\,) является линейной формой на C^\infty(X). Поскольку пространство C^\infty(X) плотно в W^{1,2}(X), то и линейную форму \theta(r,\,\cdot\,) (2.8), и билинейную форму \mathcal{L} (2.7) по непрерывности можно однозначно продолжить на функции v \in W^{1,2}(X). При этом из выполнения равенства \theta(r,v)=0 или равенства (2.6) для всех функций v \in C^\infty(X) вытекает его выполнение и для всех функций v \in W^{1,2}(X). Очевидно, что выполнение указанных равенств для всех v \in W^{1,2}(X) эквивалентно их выполнению для одних лишь неотрицательных v \in W^{1,2}(X). Несложно видеть, что, вообще говоря, уравнение вида (2.5) не всегда имеет слабое решение, а если и имеет, то не обязательно единственное. Простыми примерами служат уравнения \Delta u=1 и \Delta u=0. У \Delta u=1 слабых решений нет, так как в этом случае в уравнении (2.6) при v=1 левая часть \mathcal{L}(u,1)=\langle a(du,d1),1\rangle=0 по определению (2.7), а правая часть \langle 1,1\rangle>0. Решениями же \Delta u=0 являются все гармонические функции. Исследуем условия, при которых слабые решения существуют и единственны. 2.2. Существование и регулярность решенияФункция u \in W^{1,2}(X) называется слабым или обобщенным субрешением (суперрешением) уравнения (2.5), если f(\,{\cdot}\,,u)\in L^2(X) и выполняется неравенство в слабом смысле, т. е. для любой неотрицательной функции v \in C^\infty(X)
\begin{equation}
\mathcal{L}(u,v) \leqslant \langle f(\,\cdot\,,u),v\rangle+ \langle h,dv\rangle_{L^2(T^* X)}\quad \bigl(\mathcal{L}(u,v)\geqslant \langle f(\,\cdot\,,u),v\rangle+ \langle h,dv\rangle_{L^2(T^* X)}\bigr).
\end{equation}
\tag{2.9}
Слабое субрешение (суперрешение) уравнения (2.5), которое не является его слабым решением будем называть строгим. В дальнейшем изложении, если не оговорено противное, все встречающиеся субрешения, решения и суперрешения предполагаются слабыми, и поэтому для краткости прилагательное “слабый” будет опускаться. Очевидно, что всякое решение u уравнения (2.5) является одновременно его и субрешением, и суперрешением. Обратно, если функция u является одновременно и субрешением, и суперрешением уравнения (2.5), то согласно заключительному рассуждению замечания 2 она является решением уравнения (2.5). Замечание 3. Аналогично замечанию 1 постоянная функция u=r, r\,{\in}\,\mathbb{R}, тогда и только тогда является субрешением (суперрешением) уравнения (2.5), когда \theta(r,v) \leqslant 0 (\theta(r,v) \geqslant 0) для всякой неотрицательной функции v \in C^\infty(X). При этом в соответствии с замечанием 2 субрешение (суперрешение) u уравнения (2.5) тогда и только тогда является строгим, когда найдется такая неотрицательная функция v \in W^{1,2}(X), что Теорема 1 (существование решения). Пусть метрика a \in L^\infty\bigl((T^* X)^{\otimes^2}\bigr) удовлетворяет оценке (2.1), векторное поле b \in L^\infty(TX), линейные дифференциальные формы c,h \in L^\infty(T^* X), причем найдется такое \mu \in \mathbb{R}, что \langle c,dv\rangle_{L^2(T^* X)} \geqslant -\langle\mu,v\rangle для неотрицательных v \in C^\infty(X), а функция f \in L_{\rm loc}^\infty(X \times \mathbb{R}) и п. в. удовлетворяет условию Липшица (2.4). Предположим, что найдутся субрешение w_0 \in L^\infty(X) и суперрешение w_1 \in L^\infty(X) уравнения (2.5), п. в. удовлетворяющие неравенству w_0 \leqslant w_1. Тогда существуют такие решения u_0 и u_1 уравнения (2.5), для которых п. в. выполняется оценка и при этом u_0 минимально, а u_1 максимально в том смысле, что для любого решения u уравнения (2.5), п. в. удовлетворяющего неравенству п. в. выполняется оценкаПредположим, что метрика a \in C^{0,1}\bigl((T^* X)^{\otimes^2}\bigr) и линейные дифференциальные формы c,h \in C^{0,1}(T^* X). Тогда по теореме Радемахера их коэффициенты п. в. дифференцируемы. Сильным решением уравнения (2.5) будем называть функцию u \in W^{2,p}(X), p \geqslant 1 или p=\infty, которая п. в. удовлетворяет равенству (2.5). Теорема 2 (регулярность решения). Пусть коэффициенты и правая часть уравнения (2.5) удовлетворяют всем условиям теоремы 1. Справедливы три утверждения. (a) Существует такое 0<\alpha<1, что любое решение уравнения (2.5) класса L^\infty(X) принадлежит C^{0,\alpha}(X). (b) Если для некоторого 0<\alpha<1 метрика a \in C^{0,\alpha}\bigl((T^* X)^{\otimes^2}\bigr) и линейные дифференциальные формы c,h \in C^{0,\alpha}(T^* X), то любое решение уравнения (2.5) класса L^\infty(X) принадлежит C^{1,\alpha}(X). (c) Если метрика a \in C^{0,1}\bigl((T^* X)^{\otimes^2}\bigr) и линейные дифференциальные формы c,h\in C^{0,1}(T^* X), то любое решение уравнения (2.5) класса L^\infty (X) принадлежит W^{2,2}(X) \cap C^{1,\alpha}(X) для всякого 0<\alpha<1 и является сильным решением этого уравнения. Доказательство. Утверждения (a), (b) и (с) при ограничениях, наложенных на дифференциальный оператор L (2.2) и функцию f (2.3), вытекают из известных свойств решений уравнения (2.5), см., например, [7; § 8.9], [7; § 8.11] и [7; § 8.3] соответственно.
Естественно, что при дальнейшем повышении регулярности коэффициентов уравнения (2.5) соответствующим образом повышается и регулярность его решений, см., например, [7; § 8.3]. 2.3. Единственность решенияВообще говоря, выполнения всех условий, наложенных на коэффициенты оператора L (2.2), функцию f (2.3) и линейную дифференциальную форму h в теореме 1, недостаточно для единственности решения уравнения (2.5). Действительно, можно показать, что единственности решения может не быть даже в случае однородного уравнения L=0, см., например, [7; § 8.3]. Изучим вопросы, связанные с единственностью решения. Функция f (2.3) называется строго вогнутой в точке r_0 \in \mathbb{R} справа (слева), если
\begin{equation}
(1-\alpha)f(\,\cdot\,,r_0)+\alpha f(\,\cdot\,,r)< f(\,\cdot\,,(1-\alpha)r_0+\alpha r)
\end{equation}
\tag{2.13}
п. в. для r>r_0 (r<r_0) и 0<\alpha<1. Аналогичным образом, функция f строго выпукла в точке r_0\in \mathbb{R} справа (слева), если
\begin{equation}
f\bigl(\,\cdot\,,(1-\alpha)r_0+\alpha r\bigr)< (1-\alpha)f(\,\cdot\,,r_0)+\alpha f(\,\cdot\,,r)
\end{equation}
\tag{2.14}
п. в. для r>r_0 (r<r_0) и 0<\alpha<1. Справедливы следующие утверждения. Теорема 3 (единственность решения). Пусть коэффициенты и правая часть уравнения (2.5) удовлетворяют всем условиям теоремы 1. Справедливы два утверждения. (a) Предположим, что u_1 и u_2 – решения, а постоянная r_0 \in \mathbb{R} – субрешение уравнения (2.5), для которых r_0<u_1, r_0<u_2 п. в. Тогда, если функция f (2.3) строго вогнута в точке r_0 \in \mathbb{R} справа, то u_1=u_2 п. в. (b) Предположим, что u_1 и u_2 – решения, а постоянная r_0\in \mathbb{R} – суперрешение уравнения (2.5), для которых u_1<r_0, u_2<r_0 п. в. Тогда, если функция f (2.3) строго выпукла в точке r_0\in \mathbb{R} слева, то u_1=u_2 п. в. Доказательство см. в § 4. Для случая, когда многообразие X является n-мерным тором \mathbb{T}^n, и для пространства \mathbb{R}^n аналогичная теорема для классических решений сформулирована в [3; п. 3.2]. Теорема 4 (постоянность решения). Пусть коэффициенты и правая часть уравнения (2.5) удовлетворяют всем условиям теоремы 1. Справедливы два утверждения. (a) Предположим, что r_0 \in \mathbb{R}, w \in W^{1,2}(X) \cap L^\infty(X), w \geqslant 0 п. в., и r_0+\alpha w является строгим суперрешением уравнения (2.5) для 0<\alpha \leqslant A, где A>0. Тогда, если u – такое решение уравнения (2.5), что r_0 \leqslant u \leqslant r_0+Aw п. в., то u=r_0 п. в. (b) Предположим, что r_0 \in \mathbb{R}, w \in W^{1,2}(X) \cap L^\infty(X), w \leqslant 0 п. в., и r_0+\alpha w является строгим субрешением уравнения (2.5) для 0<\alpha \leqslant A, где A>0. Тогда, если u – такое решение уравнения (2.5), что r_0+Aw \leqslant u \leqslant r_0 п. в., то u=r_0 п. в. Теорема 5 (альтернативность решения). Пусть коэффициенты и правая часть уравнения (2.5) удовлетворяют всем условиям теоремы 1. Справедливы два утверждения. (a) Предположим, что постоянная r_0 \in \mathbb{R} является суперрешением уравнения (2.5), а u_1 и u_2 – такие решения уравнения (2.5), что r_0 \leqslant u_1 \leqslant u_2 п. в. Тогда, если функция f (2.3) строго выпукла в точке r_0 справа, то либо u_1=r_0, либо u_1=u_2. (b) Предположим, что постоянная r_0 \in \mathbb{R} является субрешением уравнения (2.5), а u_1 и u_2 – такие решения уравнения (2.5), что u_2 \leqslant u_1 \leqslant r_0 п. в. Тогда если функция f (2.3) строго вогнута в точке r_0 слева, то либо u_1=r_0, либо u_1=u_2. 2.4. Задачи на собственные значенияТождество (0.3) из введения наводит на определенные размышления и приводит к следующим конструкциям; ср. с [3; § 2]. Допустим, что функция f (2.3) п. в. обладает в точке r_0 \in \mathbb{R} правой (левой) производной
\begin{equation*}
\begin{gathered} \, \frac{\partial f}{\partial r}(\,\cdot\,,r_0+0)=\lim_{r \to r_0+0} \frac{f(\,\cdot\,,r)-f(\,\cdot\,,r_0)}{r-r_0} \\ \biggl(\frac{\partial f}{\partial r}(\,\cdot\,,r_0-0)= \lim_{r \to r_0-0}\frac{f(\,\cdot\,,r)-f(\,\cdot\,,r_0)}{r-r_0}\biggr), \end{gathered}
\end{equation*}
\notag
и поставим для дифференциального оператора L (2.2) задачу на собственные значения с потенциалом
\begin{equation}
F(x)=\frac{\partial f}{\partial r}(x,r_0+0)\qquad \biggl(F(x)=\frac{\partial f}{\partial r}(x,r_0-0)\biggr).
\end{equation}
\tag{2.16}
Пусть функция w \in W^{1,2}(X) \cap L^\infty(X) существенно отлична от нуля, т. е. \|u\|_{L^\infty(X)}>0. Будем называть функцию w субсобственной (суперсобственной) функцией задачи (2.15), (2.16), принадлежащей значению \lambda \in \mathbb{R}, если неравенство
\begin{equation}
\langle Lw-Fw,v\rangle \leqslant \lambda\langle w,v\rangle\qquad (\langle Lw-Fw,v\rangle \geqslant \lambda\langle w,v\rangle)
\end{equation}
\tag{2.17}
выполняется для всех неотрицательных функций v \in C^\infty(X). Естественно, если соотношения (2.17) выполняются со знаком равенства, то w является собственной функцией, а \lambda – собственным значением. Теорема 6 (существование решения). Пусть коэффициенты и правая часть уравнения (2.5) удовлетворяют всем условиям теоремы 1. Справедливы два утверждения. (a) Предположим, что функция f (2.3) п. в. имеет в точке r_0 \in \mathbb{R} правую производную, принадлежащую L^\infty(X), и w – субсобственная функция соответствующей задачи (2.15), (2.16), принадлежащая отрицательному значению \lambda, для которой \operatorname*{ess\,inf}_{x \in X}w(x)>0. Если числа r_0 и N, N>r_0, являются субрешением и суперрешением уравнения (2.5), то это уравнение имеет решение u, для которого r_0<u \leqslant N п. в. (b) Предположим, что функция f (2.3) п. в. имеет в точке r_0 \in \mathbb{R} левую производную, принадлежащую L^\infty(X), и w – суперсобственная функция соответствующей задачи (2.15), (2.16), принадлежащая отрицательному значению \lambda, для которой \operatorname*{ess\,sup}_{x \in X}w(x)<0. Если числа r_0 и N, N<r_0, являются суперрешением и субрешением уравнения (2.5), то это уравнение имеет решение u, для которого N \leqslant u<r_0 п. в. Доказательство см. в § 5. Из этого доказательства видно, что на самом деле для решений u выполняются даже несколько более сильные оценки. Отметим, что по утверждению (a) теоремы 2 решение u непрерывно и поэтому равномерно отделено от r_0.
Из определения (2.13) несложно вывести, что функция f (2.3) тогда и только тогда строго вогнута в точке r_0 \in \mathbb{R} справа (слева), когда
\begin{equation}
\frac{f(\,\cdot\,,r_1)-f(\,\cdot\,,r_0)}{r_1-r_0}< \frac{f(\,\cdot\,,r)-f(\,\cdot\,,r_0)}{r-r_0}
\end{equation}
\tag{2.18}
п. в. для r_0<r<r_1 (r_1<r<r_0). Аналогичным образом, из определения (2.14) несложно вывести, что функция f тогда и только тогда строго выпукла в точке r_0 \in \mathbb{R} справа (слева), когда
\begin{equation}
\frac{f(\,\cdot\,,r_1)-f(\,\cdot\,,r_0)}{r_1-r_0}> \frac{f(\,\cdot\,,r)-f(\,\cdot\,,r_0)}{r-r_0}
\end{equation}
\tag{2.19}
п. в. для r_0<r<r_1 (r_1<r<r_0). Эти свойства монотонности разностных отношений позволяют установить существование соответствующих производных в правых частях выражений (2.16) и, как следствие, корректность постановки задачи (2.15), подробнее см. лемму 5 в 5. Таким образом, из теорем 6 и 3 вытекает следующее утверждение. Теорема 7 (существование и единственность решения). Пусть коэффициенты и правая часть уравнения (2.5) удовлетворяют всем условиям теоремы 1. Тогда справедливы следующие утверждения. (a) Предположим, что функция f строго вогнута в точке r_0 \in \mathbb{R} справа и w – субсобственная функция соответствующей задачи (2.15), (2.16), принадлежащая отрицательному значению \lambda, для которой \operatorname*{ess\,inf}_{x\in X}w(x)>0. Если числа r_0 и N, r_0<N, являются субрешением и суперрешением уравнения (2.5), то это уравнение имеет единственное решение u, для которого r_0<u п. в. (b) Предположим, что функция f строго выпукла в точке r_0 \in \mathbb{R} слева и w – суперсобственная функция соответствующей задачи (2.15), (2.16), принадлежащая отрицательному значению \lambda, для которой \operatorname*{ess\,sup}_{x \in X}w(x)<0. Если числа r_0 и N, r_0>N, являются суперрешением и субрешением уравнения (2.5), то это уравнение имеет единственное решение u, для которого u<r_0 п. в. Дополнением теоремы 7 служит следующее утверждение. Теорема 8 (постоянность решения). Пусть коэффициенты и правая часть уравнения (2.5) удовлетворяют всем условиям теоремы 1. Тогда справедливы два утверждения. (a) Предположим, что функция f строго вогнута в точке r_0 \in \mathbb{R} справа и w – суперсобственная функция задачи (2.15), (2.16), принадлежащая неотрицательному значению \lambda, для которой \operatorname*{ess\,inf}_{x \in X}w(x)>0. Тогда, если число r_0 – суперрешение, а функция u – решение уравнения (2.5), п. в. удовлетворяющие неравенству r_0 \leqslant u, то u=r_0 п. в. (b) Предположим, что функция f строго выпукла в точке r_0 \in \mathbb{R} слева и w – субсобственная функция задачи (2.15), (2.16), принадлежащая неотрицательному значению \lambda, для которой \operatorname*{ess\,sup}_{x\in X}w(x)<0. Тогда, если число r_0 – субрешение, а функция u – решение уравнения (2.5), п. в. удовлетворяющие неравенству u \leqslant r_0, то u=r_0 п. в. Если в операторе L (2.2) b=0 и c=0, то уравнение (2.5) принимает вид а задача (2.15) – Поскольку \Delta-F – самосопряженный эллиптический оператор, то его минимальное собственное значение \lambda_1 – вещественное и простое, а принадлежащая ему собственная функция w_1 может быть выбрана положительной, см., например [7; § 8.12]. Поэтому в рассматриваемом случае из теорем 6, 7 и 8 вытекают следующие утверждения.Следствие 1. Пусть коэффициенты и правая часть уравнения (2.20) удовлетворяют всем условиям теоремы 1. Тогда справедливы следующие утверждения. (a) Предположим, что функция f (2.3) п. в. имеет в точке r_0 \in \mathbb{R} правую производную, принадлежащую L^\infty(X), и минимальное собственное значение \lambda_1 задачи (2.16), (2.21) отрицательно. Если числа r_0 и N, N>r_0, являются субрешением и суперрешением уравнения (2.20), то это уравнение имеет решение u, для которого r_0<u \leqslant N п. в. (b) Предположим, что функция f (2.3) п. в. имеет в точке r_0 \in \mathbb{R} левую производную, принадлежащую L^\infty(X), и минимальное собственное значение \lambda_1 задачи (2.16), (2.21) отрицательно. Если числа r_0 и N, N<r_0, являются суперрешением и субрешением уравнения (2.20), то это уравнение имеет решение u, для которого N \leqslant u<r_0 п. в. Следствие 2. Пусть коэффициенты и правая часть уравнения (2.20) удовлетворяют всем условиям теоремы 1. Тогда справедливы следующие утверждения. (a) Предположим, что функция f строго вогнута в точке r_0 \in \mathbb{R} справа и минимальное собственное значение \lambda_1 задачи (2.16), (2.21) отрицательно. Если числа r_0 и N, N>r_0, являются субрешением и суперрешением уравнения (2.20), то это уравнение имеет единственное решение u, для которого r_0<u п. в. (b) Предположим, что функция f строго выпукла в точке r_0 \in \mathbb{R} слева и минимальное собственное значение \lambda_1 задачи (2.16), (2.21) отрицательно. Если числа r_0 и N, N<r_0, являются суперрешением и субрешением уравнения (2.20), то это уравнение имеет единственное решение u, для которого u<r_0 п. в. Следствие 3. Пусть коэффициенты и правая часть уравнения (2.20) удовлетворяют всем условиям теоремы 1. Тогда справедливы следующие утверждения. (a) Предположим, что функция f строго вогнута в точке r_0 \in \mathbb{R} справа и минимальное собственное значение \lambda_1 задачи (2.16), (2.21) неотрицательно. Тогда если число r_0 является суперрешением, а u – решением уравнения (2.20), п. в. удовлетворяющим неравенству r_0 \leqslant u, то u=r_0 п. в. (b) Предположим, что функция f строго выпукла в точке r_0 \in \mathbb{R} слева и минимальное собственное значение \lambda_1 задачи (2.16), (2.21) неотрицательно. Тогда если число r_0 является субрешением, а u – решением уравнения (2.20), п. в. удовлетворяющим неравенству u \leqslant r_0, то u=r_0 п. в. § 3. Существование решения3.1. Вспомогательное утверждениеДля доказательства теоремы 1 воспользуемся следующим вспомогательным результатом. Лемма 1. Пусть выполнены все условия, наложенные в теореме 1 на коэффициенты дифференциального оператора L (2.2). Тогда справедливы следующие утверждения. (a) Найдется такое положительное число \mu_1, что для \mu \geqslant \mu_1 и u \in W^{1,2}(X)
\begin{equation*}
\mathcal{L}(u,u) \geqslant \frac{a_0}{2} \langle du,du\rangle_{L^2(T^* X)}- \mu\langle u,u\rangle.
\end{equation*}
\notag
(b) Найдутся такие положительные числа \mu_2 и C=C(\mu_2), что для \mu \geqslant \mu_2 и u \in W^{1,2}(X) справедлива априорная оценка
\begin{equation*}
\langle u,u\rangle_{W^{1,2}(X)} \leqslant C(\mathcal{L}(u,u)+\mu\langle u,u\rangle).
\end{equation*}
\notag
(c) Найдется такое положительное число \mu_3, что если при \mu \geqslant \mu_3 функции u_0,u_1 \in W^{1,2}(X) удовлетворяют неравенству
\begin{equation*}
\mathcal{L}(u_0,v)+\mu\langle u_0,v\rangle \leqslant \mathcal{L}(u_1,v)+\mu\langle u_1,v\rangle
\end{equation*}
\notag
для любой неотрицательной функции v \in C^\infty(X), то u_0 \leqslant u_1 п. в. Доказательство. Утверждение (a) устанавливается посредством оценки левой части доказываемого неравенства с использованием определения (2.7) и условия равномерной эллиптичности (2.1), см., например, [7; § 8.2]. Утверждение (b) – очевидное следствие (a). Утверждение (c) вытекает из сильного принципа максимума для слабых субрешений, см., например, [7; § 8.7]. Лемма доказана. 3.2. Доказательство теоремы 1Поскольку функция f (2.3) п. в. удовлетворяет условию Липшица (2.4), то для любых
\begin{equation*}
\mu \geqslant \mu_0 (\max\{\|w_0\|_{L^\infty(X)},\|w_1\|_{L^\infty(X)}\})
\end{equation*}
\notag
и функций v_0 и v_1, п. в. удовлетворяющих оценке w_0 \leqslant v_0 \leqslant v_1 \leqslant w_1, п. в. выполняется неравенство f(\,\cdot\,,v_0)+\mu v_0 \leqslant f(\,\cdot\,,v_1)+\mu v_1, ср. с [11; прилож. к гл. IV, § 2]. Из него вытекает, что
\begin{equation}
\langle f(\,\cdot\,,v_0)+\mu v_0,v\rangle+ \langle h,dv\rangle_{L^2(T^* X)} \leqslant \langle f(\,\cdot\,,v_1)+\mu v_1,v\rangle+\langle h,dv\rangle_{L^2(T^*X)},
\end{equation}
\tag{3.1}
для неотрицательных функций v \in C^\infty(X). Положим
\begin{equation}
c_0=\max\bigl\{\mu_0(\max\{\|w_0\|_{L^\infty(X)},\|w_1\|_{L^\infty(X)}\}), \mu_1,\mu_2,\mu_3\bigr\},
\end{equation}
\tag{3.2}
где \mu_1, \mu_2 и \mu_3 – положительные числа из утверждений (a), (b) и (c) леммы 1. Очевидно, что уравнение (2.5) эквивалентно уравнению Построим по индукции две последовательности приближений \{u_{0,l}\} и \{u_{1,l}\}: пусть u_{j,0}=w_j при j=0,1, а u_{j,l} при l=1,2,\dots является решением уравнения
\begin{equation*}
Lu_{j,l}+c_0 u_{j,l}=f(\,\cdot\,,u_{j,l-1})+d_g^* h+c_0 u_{j,l-1},
\end{equation*}
\notag
т. е. для всякой функции v \in C^\infty(X)
\begin{equation}
\mathcal{L}(u_{j,l},v)+c_0\langle u_{j,l},v\rangle= \langle f(\,\cdot\,,u_{j,l-1})+c_0 u_{j,l-1},v\rangle+ \langle h,dv\rangle_{L^2(T^* X)}.
\end{equation}
\tag{3.4}
В силу свойства (a) леммы 1 ограниченная квадратичная форма \mathcal{L}(u,u)+c_0\langle u,u\rangle коэрцитивна в гильбертовом пространстве W^{1,2}(X), и по теореме Лакса–Мильграма уравнение (3.4) однозначно разрешимо в этом пространстве, см., например, [7; § 5.8]. Для всякого решения u, удовлетворяющего оценке (2.11), согласно неравенству (3.1) и утверждению (c) леммы 1 п. в. выполняются соотношения
\begin{equation*}
w_0=u_{0,0} \leqslant u_{0,1} \leqslant u_{0,2} \leqslant\dots\leqslant u \leqslant\dots\leqslant u_{1,2} \leqslant u_{1,1} \leqslant u_{1,0}=w_1.
\end{equation*}
\notag
В силу монотонности и ограниченности последовательностей п. в. существуют их пределы
\begin{equation}
u_0=\lim_{l \to +\infty} u_{0,l},\qquad u_1=\lim_{l \to +\infty}u_{1,l},
\end{equation}
\tag{3.5}
для которых п. в.
\begin{equation}
w_0=u_{0,0} \leqslant u_{0,1} \leqslant u_{0,2} \leqslant\dots\leqslant u_0 \leqslant u \leqslant u_1 \leqslant\dots\leqslant u_{1,2} \leqslant u_{1,1} \leqslant u_{1,0}=w_1.
\end{equation}
\tag{3.6}
Поэтому по теореме Лебега о мажорированной сходимости равенства (3.5) имеют место и в норме {\|\cdot\|_{W^{0,2}(X)}}. Далее, согласно выбору c_0 (3.2) и утверждению (b) леммы 1 найдется такая постоянная C, что для j=0,1 и всех l,m=1,2,\dots
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, \langle u_{j,l+m}-u_{j,l},u_{j,l+m}-u_{j,l}\rangle_{W^{1,2}(X)} &\leqslant C\bigl(\mathcal{L}(u_{j,l+m}-u_{j,l},u_{j,l+m}-u_{j,l}) \\ &\qquad +c_0\langle u_{j,l+m}-u_{j,l},u_{j,l+m}-u_{j,l}\rangle\bigr). \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Поскольку по определению формы \mathcal{L} (2.7)
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathcal{L}(u_{j,l+m}-u_{j,l},u_{j,l+m}-u_{j,l})+ c_0\langle u_{j,l+m}-u_{j,l},u_{j,l+m}-u_{j,l}\rangle \\ &\qquad=\mathcal{L}(u_{j,l+m},u_{j,l+m}-u_{j,l}) +c_0\langle u_{j,l+m},u_{j,l+m}-u_{j,l}\rangle \\ &\qquad\qquad-\mathcal{L}(u_{j,l},u_{j,l+m}-u_{j,l}) -c_0\langle u_{j,l},u_{j,l+m}-u_{j,l}\rangle, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
то по построению (3.4) имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\langle u_{j,l+m}-u_{j,l},u_{j,l+m}-u_{j,l}\rangle_{W^{1,2}(X)} \\ &\qquad\leqslant C\langle f(\,\cdot\,,u_{j,l+m-1})+c_0 u_{j,l+m-1},u_{j,l+m}-u_{j,l}\rangle \\ &\qquad\qquad-C\bigl\langle f(\,\cdot\,,u_{j,l-1})+ c_0 u_{j,l-1},u_{j,l+m}-u_{j,l}\bigr\rangle. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Следовательно, по теореме Лебега о мажорированной сходимости построенные последовательности приближений \{u_{0,l}\} и \{u_{1,l}\} фундаментальны в норме \|\,{\cdot}\,\|_{W^{1,2}(X)} и сходятся к функциям u_0 и u_1 (3.5), так что, переходя к пределу в (3.4), при j=0,1 получаем
\begin{equation*}
\mathcal{L}(u_j,v)+c_0\langle u_j,v\rangle= \langle f(\,\cdot\,,u_j),v\rangle+ c_0\langle u_j,v\rangle+\langle h,dv\rangle_{L^2(T^* X)}
\end{equation*}
\notag
для v \in C^\infty(X), т. е. функции u_0 и u_1 являются решениями уравнения (3.3). Выполнение для u неравенств (2.10) и (2.12) вытекает из оценки (3.6). Теорема 1 доказана.
§ 4. Единственность решения4.1. Вспомогательные утвержденияПри доказательстве теорем о единственности решения будут использоваться следующие леммы. Лемма 2. Пусть коэффициенты и правая часть уравнения (2.5) удовлетворяют всем условиям теоремы 1 и заданы такие функции u,u_0 \in W^{1,2}(X) \cap L^\infty(X), что u_0 \leqslant u п. в. Если u_0 и u – такие субрешение и суперрешение уравнения (2.5), что \operatorname*{ess\,sup}_{x \in X}(u_0-u)(x)=0, то u_0=u п. в., и, следовательно, u и u_0 – решения уравнения (2.5). Доказательство. По условию u_0 – субрешение, u – суперрешение уравнения (2.5), и их разность w=u_0-u \leqslant 0 п. в. По определениям (2.9) и условию Липшица (2.4) имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0 &\geqslant \mathcal{L}(w,v)-\langle f(\,\cdot\,,u_0)- f(\,\cdot\,,u),v\rangle \\ &\geqslant \mathcal{L}(w,v)+ \bigl(\mu_0(\max\{\|u_0\|_{L^\infty(X)},\|u\|_{L^\infty(X)}\})\bigr) \langle w,v\rangle \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
для всех неотрицательных функций v \in C^\infty(X), так что разность w является субрешением уравнения Lw+\mu w=0 для любых \mu \in \mathbb{R}, таких что \mu \geqslant \mu_0(\max\{\|u_0\|_{L^\infty(X)},\|u\|_{L^\infty(X)}\}). А поскольку по условию \operatorname*{ess\,sup}_{x\in X}w(x)=0 и X компактно, то w=0 п. в. в силу сильного принципа максимума для субрешений, см., например, [7; § 8.7]. Лемма доказана. Лемма 3. Для функционала \mathcal{L} (2.7) и любых чисел r,\alpha \in \mathbb{R} и функций w,v \in W^{1,2}(X)
\begin{equation}
\mathcal{L}(r+\alpha w,v)=\alpha\mathcal{L}(w,v)+ r\langle c,dv\rangle_{L^2(T^* X)}.
\end{equation}
\tag{4.1}
Если u – решение уравнения (2.5), то
\begin{equation}
\begin{aligned} \, \mathcal{L}(r_0+\alpha(u-r_0),v)&= \alpha\langle f(\,\cdot\,,u),v\rangle+(1-\alpha)\theta(r_0,v) \nonumber \\ &\qquad+(1-\alpha)\langle f(\,\cdot\,,r_0),v\rangle+ \langle h,dv\rangle_{L^2(T^* X)} \end{aligned}
\end{equation}
\tag{4.2}
для функционалов \mathcal{L} (2.7) и \theta (2.8) и любых чисел \alpha,r_0 \in \mathbb{R} и функций v \in W^{1,2}(X). Доказательство. В силу замечания 2 билинейная форма \mathcal{L} (2.7) и линейная форма \theta(r_0,\,\cdot\,) (2.8) в равенствах (4.1) и (4.2) определены корректно. Согласно замечанию 1
\begin{equation*}
\mathcal{L}(r+\alpha w,v)=\mathcal{L}(r,v)+\mathcal{L}(\alpha w,v)= \alpha\mathcal{L}(w,v)+r\langle c,dv\rangle_{L^2(T^* X)},
\end{equation*}
\notag
так что (4.1) справедливо. А поскольку u – решение уравнения (2.5), то (4.2) вытекает из (4.1) при w=u и r=(1-\alpha)r_0 по определению (2.6) и построению \theta. Лемма доказана. Лемма 4. Пусть u – решение, постоянная r_0 \in \mathbb{R} – субрешение (суперрешение) уравнения (2.5) и функция f (2.3) строго вогнута (выпукла) в точке r_0 \in \mathbb{R} или справа и r_0<u п. в., или слева и r_0>u п. в. Тогда при 0<\alpha<1 функция r_0+\alpha(u-r_0) является строгим субрешением (суперрешением) уравнения (2.5). Доказательство. В случае, когда постоянная r_0 \in \mathbb{R} является субрешением уравнения (2.5), \theta(r_0,v)\leqslant 0 для всякой неотрицательной функции v \in C^\infty(X) согласно замечанию 3. Отсюда в силу равенства (4.2) из леммы 3 и определению вогнутости (2.13) для неотрицательных функций v \in C^\infty(X) выводим
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathcal{L}\bigl(r_0+\alpha(u-r_0),v\bigr)= \alpha\langle f(\,\cdot\,,u),v\rangle+(1-\alpha)\theta(r_0,v)+ (1-\alpha)\langle f(\,\cdot\,,r_0),v\rangle \\ &\qquad+\langle h,dv\rangle_{L^2(T^* X)}\leqslant\bigl\langle f(\,\cdot\,,(1-\alpha)r_0+\alpha u),v\bigr\rangle+\langle h,dv\rangle_{L^2(T^* X)} \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
при 0<\alpha<1, причем в силу строгости неравенства (2.13) при v=1 имеем
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\mathcal{L}(r_0+\alpha(u-r_0),1)=\alpha\langle f(\,\cdot\,,u),1\rangle+ (1-\alpha)\theta(1,v)+(1-\alpha)\langle f(\,\cdot\,,r_0),1\rangle \\ &\qquad\leqslant \langle\alpha f(\,\cdot\,,u)+(1-\alpha)f(\,\cdot\,,r_0),1\rangle <\langle f(\,\cdot\,,(1-\alpha)r_0+\alpha u),1\rangle. \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
Таким образом, для 0<\alpha<1 функция r_0+\alpha(u-r_0) является строгим субрешением уравнения (2.5) в соответствии с определением (2.9) и замечанием 3. Случай, когда постоянная r_0 \in \mathbb{R} – суперрешение уравнения (2.5), доказывается аналогично. Лемма доказана. 4.2. Доказательство теоремы 3По условию многообразие X компактно, и по утверждению (a) теоремы 2 можно считать решения u_1 и u_2 непрерывными. (a) Поскольку по условию постоянная r_0 – субрешение уравнения (2.5), а функция f (2.3) строго вогнута в точке r_0 \in \mathbb{R} справа, то функция r_0+\alpha(u_j\,{-}\,r_0) является строгим субрешением уравнения (2.5) при 0<\alpha<1 и j=1,2 по лемме 4. А так как решения u_1 и u_2 непрерывны и r_0<u_1, r_0<u_2 п. в., то для j=1,2 величина
\begin{equation*}
\alpha_j=\sup\{\alpha>0 \mid u_{3-j} \geqslant r_0+\alpha(u_j-r_0)\text{ п. в.}\}
\end{equation*}
\notag
существует и является положительным числом, ср. с [3; п. 3.2]. Если 0\,{<}\,\alpha_j\,{<}\,1, то \operatorname*{ess\,sup}_{x \in X} \bigl(r_0+\alpha_j(u_j-r_0)-u_{3-j}\bigr)(x)=0, и u_{3-j}=r_0+\alpha_j(u_j-r_0) п. в. по построению \alpha_j и лемме 2. Но это противоречит тому, что функция r_0+\alpha_j(u_j- r_0) решением уравнения (2.5) не является. Следовательно, \alpha_j \geqslant 1, и поэтому u_{3-j} \geqslant r_0+\alpha_j(u_j-r_0) \geqslant r_0+1(u_j-r_0)=u_j п. в. для j=1,2. Случай (b) рассматривается аналогично. Теорема 3 доказана. 4.3. Доказательство теоремы 4(a) Поскольку r_0 \leqslant u \leqslant r_0+Aw п. в., то величина
\begin{equation*}
\alpha_0=\inf\{0<\alpha \leqslant A \mid u \leqslant r_0+\alpha w \text{ п. в.}\}
\end{equation*}
\notag
существует и 0 \leqslant \alpha_0 \leqslant A, ср. с [3; п. 3.2]. Поэтому если \alpha_0>0, то \operatorname*{ess\,sup}_{x \in X} (u-r_0-\alpha_0 w)(x)=0, и так как функция r_0+\alpha w является строгим суперрешением уравнения (2.5) для 0<\alpha \leqslant A, то u=r_0+\alpha_0 w п. в. по лемме 2, а это противоречит тому, что r_0+\alpha_0 w решением не является. Следовательно, \alpha_0=0 и u=r_0 п. в. Случай (b) рассматривается аналогично. Теорема 4 доказана. 4.4. Доказательство теоремы 5Многообразие X компактно, и по утверждению (a) теоремы 2 решения u_1 и u_2 можно, не ограничивая общности, считать непрерывными. (a) Поскольку по условию r_0\leqslant u_1\leqslant u_2 п. в., то величина
\begin{equation*}
\varepsilon=-\operatorname*{ess\,sup}_{x \in X}(u_1-u_2)(x)
\end{equation*}
\notag
неотрицательна. Если \varepsilon=0, то u_1=u_2 п. в. по лемме 2, и теорема доказана. Если же \varepsilon>0, то в силу непрерывности u_2 и компактности X величина R=\|u_2-r_0\|_{L^\infty(X)} конечна, так что п. в. выполняются соотношения
\begin{equation*}
0 \leqslant u_1-r_0 \leqslant u_2-r_0-\varepsilon \leqslant u_2-r_0-\varepsilon\frac{u_2-r_0}{R}= \biggl(1-\frac{\varepsilon}{R}\biggr)(u_2-r_0),
\end{equation*}
\notag
и поэтому r_0 \leqslant u_1 \leqslant r_0+(1-\varepsilon/R)(u_2-r_0) п. в. А так как постоянная r_0 является суперрешением уравнения (2.5) и функция f строго выпукла в точке r_0 справа, то по лемме 4 функция r_0+\alpha(u_2-r_0) является строгим суперрешением уравнения (2.5) при 0<\alpha<1. Следовательно, u_1=r_0 п. в. по теореме 4. Случай (b) рассматривается аналогично. Теорема 5 доказана. § 5. Задачи на собственные значения5.1. Вспомогательное утверждениеУточним условия существования производных функции f (2.3), о которых говорилось перед теоремой 7 в п. 2.4. Лемма 5. Если функция f (2.3) удовлетворяет условиям Липшица (2.4) и вогнутости (выпуклости) в точке r_0 \in \mathbb{R} справа, то она п. в. обладает в этой точке правой производной, принадлежащей L^\infty(X). Аналогично, если функция f (2.3) удовлетворяет условиям Липшица (2.4) и вогнутости (выпуклости) в точке r_0 \in \mathbb{R} слева, то она п. в. обладает в этой точке левой производной, принадлежащей L^\infty(X). Доказательство. Если функция f строго вогнута в точке r_0 справа (слева), то согласно условию Липшица (2.8) и свойству монотонности разностных отношений (2.18) существует правая (левая) производная в точке r_0, удовлетворяющая неравенству
\begin{equation}
\begin{gathered} \, \frac{f(\,\cdot\,,r)-f(\,\cdot\,,r_0)}{r-r_0}< \frac{\partial f}{\partial r}(\,\cdot\,,r_0+0)\leqslant \mu_0(\max\{|r_0|,|r_1|\}) \\ \biggl(-\mu_0(\max\{|r_0|,|r_1|\})\leqslant \frac{\partial f}{\partial r} (\,\cdot\,,r_0-0)<\frac{f(\,\cdot\,,r)-f(\,\cdot\,,r_0)}{r-r_0}\biggr) \end{gathered}
\end{equation}
\tag{5.1}
п. в. для r_0<r<r_1 (r_1<r<r_0). Случай, когда функция f строго выпукла в точке r_0 слева (справа), рассматривается аналогично. Лемма доказана. 5.2. Доказательство теоремы 6(a) По условию \lambda<0, w \in L^\infty(X) и \operatorname*{ess\,inf}_{x\in X}w(x)>0. По определению правой производной найдется такое \delta>0, что для всех 0<\alpha<\delta
\begin{equation*}
\frac{\lambda}{2}\alpha w<f(\,\cdot\,,r_0+\alpha w)- f(\,\cdot\,,r_0)-\alpha w\, \frac{\partial f}{\partial r}(\,\cdot\,,r_0+0)\quad\text{п. в}.
\end{equation*}
\notag
Поскольку по условию выполняются соотношения (2.17), (2.16), то отсюда выводим
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0 &\geqslant \alpha \mathcal{L}(w,v)-\alpha\biggl\langle\frac{\partial f} {\partial r}(\,\cdot\,,r_0+0)w,v\biggl\rangle-\lambda\alpha\langle w,v\rangle \\ &\geqslant \alpha\mathcal{L}(w,v)-\langle f(\,\cdot\,,r_0+\alpha w),v\rangle+ \langle f(\,\cdot\,,r_0),v\rangle+\frac{\lambda}{2}\alpha\langle w,v\rangle- \lambda\alpha\langle w,v\rangle \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
для неотрицательных функций v \in C^\infty(X), ср. с [3; п. 3.2]. Следовательно,
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\alpha\mathcal{L}(w,v)+r_0\langle c,dv\rangle_{L^2(T^* X)}- \langle f(\,\cdot\,,r_0+\alpha w),v\rangle- \langle h,dv\rangle_{L^2 (T^* X)} \\ &\qquad\leqslant r_0\langle c,dv\rangle_{L^2(T^* X)}- \langle f(\,\cdot\,,r_0),v\rangle-\langle h,dv\rangle_{L^2(T^* X)}+ \frac{\lambda}{2}\alpha\langle w,v\rangle, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
откуда согласно равенству (4.1) из леммы 3 и построению \theta (2.8)
\begin{equation*}
\mathcal{L}(r_0+\alpha w,v)-\bigl(f(\,\cdot\,,r_0+\alpha w),v\bigr)- \langle h,dv\rangle_{L^2(T^* X)} \leqslant \theta(r_0,v)+ \frac{\lambda}{2}\alpha\langle w,v\rangle
\end{equation*}
\notag
для всех 0<\alpha<\beta. В силу замечания 3 число r_0 тогда и только тогда является субрешением уравнения (2.5), когда \theta(r_0,v) \leqslant 0 для всякой неотрицательной функции v \in C^\infty(X). А так как по условию \operatorname*{ess\,inf}_{x \in X}w(x)>0 и \lambda<0, то при 0<\alpha<\delta функция r_0+\alpha w является субрешением уравнения (2.5). Далее, по условию число N является суперрешением уравнения (2.5), N>r_0, и w \in L^\infty(X), так что для достаточно малого положительного числа \alpha_0 при 0<\alpha<\alpha_0 п. в. выполняется неравенство r_0+\alpha w \leqslant N. Поэтому доказываемое утверждение вытекает из теоремы 1. Случай (b) рассматривается аналогично. Теорема 6 доказана. 5.3. Доказательство теоремы 8(a) По условию \operatorname*{ess\,inf}_{x \in X}w(x)>0, поэтому согласно оценке (5.1) для всех \alpha>0 имеем
\begin{equation}
f(\,\cdot\,,r_0+\alpha w)-f(\,\cdot\,,r_0)< \alpha w\, \frac{\partial f}{\partial r}(\,\cdot\,,r_0+0)\quad\text{п. в}.
\end{equation}
\tag{5.2}
Поскольку по условию выполняются соотношения (2.17), (2.16), то отсюда выводим
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, 0 &\leqslant \alpha\mathcal{L}(w,v)- \biggl\langle\frac{\partial f}{\partial r}(\,\cdot\,,r_0+0)w,v\biggr\rangle- \lambda\alpha\langle w,v\rangle \\ &\leqslant \alpha\mathcal{L}(w,v)-\langle f(\,\cdot\,,r_0+\alpha w),v\rangle+ \langle f(\,\cdot\,,r_0),v\rangle-\lambda\alpha\langle w,v\rangle \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
для неотрицательных функций v \in C^\infty(X), ср. с [3; п. 3.2]. Следовательно,
\begin{equation*}
\begin{aligned} \, &\alpha \mathcal{L}(w,v)+r_0\langle c,dv\rangle_{L^2(T^* X)}- \langle f(\,\cdot\,,r_0+\alpha w),v\rangle-\langle h,dv\rangle_{L^2(T^* X)} \\ &\qquad\geqslant r_0\langle c,dv\rangle_{L^2(T^* X)}- \langle f(\,\cdot\,,r_0),v\rangle-\langle h,dv\rangle_{L^2(T^* X)}+ \lambda\alpha\langle w,v\rangle, \end{aligned}
\end{equation*}
\notag
откуда согласно равенству (4.1) из леммы 3 и построению \theta (2.8) выводим
\begin{equation*}
\mathcal{L}(r_0+\alpha w,v)-\langle f(\,\cdot\,,r_0+\alpha w),v\rangle- \langle h,dv\rangle_{L^2(T^* X)} \geqslant \theta(r_0,v)+\lambda\alpha\langle w,v\rangle,
\end{equation*}
\notag
причем в силу строгости неравенства (5.2) при v=1
\begin{equation*}
\mathcal{L}(r_0+\alpha w,1)-\langle f(\,\cdot\,,r_0+\alpha w),1\rangle> \theta(r_0,1)+\lambda\alpha\langle w,1\rangle.
\end{equation*}
\notag
Согласно замечанию 3 число r_0 тогда и только тогда является суперрешением уравнения (2.5), когда \theta(r_0,v)\geqslant 0 для всякой неотрицательной функции v \in C^\infty(X), и так как по условию \operatorname*{ess\,inf}_{x \in X}w(x)>0 и \lambda \geqslant 0, то при \alpha > 0 функция r_0+\alpha w является строгим суперрешением уравнения (2.5). Далее, по утверждению (a) теоремы 2 решение u непрерывно, так что для достаточно большого положительного числа A п. в. справедлива оценка r_0 \leqslant u \leqslant r_0+Aw, из которой в силу теоремы 4 вытекает доказываемое утверждение. Случай (b) рассматривается аналогично. Теорема 8 доказана. Автор выражает благодарность А. А. Давыдову за постановку задачи и полезные обсуждения.
Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Tun22}
Эта публикация цитируется в следующих 7 статьяx:
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Обратная связь: |
Пользовательское соглашение
|
Регистрация посетителей портала |
Логотипы |
|