Продолжение функций, являющихся на произвольном множестве прямой следами функций с заданным вторым модулем непрерывности

Пусть $\varphi(t)$ – произвольная функция типа второго модуля непрерывности. Доказано, что если на произвольно взятом множестве $E\subset\mathbf R^1$ для какой-нибудь функции $f(x)\colon E\to\mathbf R^1$ во всех тройках точек $x_1\in E$, $x_3\in E$ и $x_2\in E\cap(x_1,x_3)$, выполняется условие:
$$\begin{equation} \biggl|f(x_2)-\frac{x_2-x_3}{x_1-x_3}f(x_1)-\frac{x_2-x_1}{x_3-x_1}f(x_3)\biggr| \leqslant2|x_1-x_2|\int_{|x_1-x_2|}^{2|x_1-x_3|}s^{-2}\varphi(s)\,ds, \end{equation}$$
то эта функция является следом некоторой непрерывной функции $\overline f\colon\mathbf R^1\to\mathbf R^1$, для которой $\omega_2(\overline f,t)\leqslant A\varphi(t)$, где $A$ – абсолютная постоянная. Функция $\overline f$ строится по формуле, использующей только значения функции $\overline f$ на $E$ и функции $\varphi(t)$. Обратное к данному утверждение о том, что для каждой непрерывной функции $f\colon\mathbf R^1\to\mathbf R^1$ на любом множестве $E\subset\mathbf R^1$ выполняется условие (1), проверяется без труда.
Библиография: 7 названий.