Аннотация:
Известно, что существует бесконечная иерархия интегрируемых обобщений геодезического потока на n-мерном эллипсоиде, описывающих движение материальной точки в силовом поле некоторых
полиномиальных потенциалов. В пределе, когда одна из полуосей эллипсоида стремится к нулю, возникают интегрируемые отображения, описывающие биллиарды внутри (n−1)-мерного эллипсоида с
полиномиальными потенциалами.
В данной статье впервые указываются явные формулы для биллиарда с квадратичным (гуковским) потенциалом, его представление в форме Лакса, решение в тэта-функциях, а также вычисляется производящая функция ограничения отображения на уровень интеграла типа энергии. Метод, с помощью которого были получены тэта-функциональные решения, отличается от использовавшихся ранее и основывается на вычислениях предельных значений мероморфных функций на обобщенных
якобианах.
Образец цитирования:
Ю. Н. Федоров, “Эллипсоидальный биллиард с квадратичным потенциалом”, Функц. анализ и его прил., 35:3 (2001), 48–59; Funct. Anal. Appl., 35:3 (2001), 199–208
Airi Takeuchi, Lei Zhao, “Integrable Mechanical Billiards in Higher-Dimensional Space Forms”, Regul. Chaotic Dyn., 29:3 (2024), 405–434
L. Becker, S. Elliott, B. Firester, S. Gonen Cohen, Michal Pnueli, Vered Rom-Kedar, Hamiltonian Systems, 2024, 29
Daniel Jaud, Lei Zhao, “Geometric properties of integrable Kepler and Hooke billiards with conic section boundaries”, Journal of Geometry and Physics, 204 (2024), 105289
Sean Gasiorek, Milena Radnović, Contemporary Mathematics, 807, Recent Progress in Special Functions, 2024, 111
Vladimir Dragović, Milena Radnović, “Resonance of ellipsoidal billiard trajectories and extremal rational functions”, Advances in Mathematics, 424 (2023), 109044
KRZYSZTOF FRĄCZEK, VERED ROM-KEDAR, “Non-uniform ergodic properties of Hamiltonian flows with impacts”, Ergod. Th. Dynam. Sys., 43:1 (2023), 190
M Pnueli, V Rom-Kedar, “On the structure of Hamiltonian impact systems”, Nonlinearity, 34:4 (2021), 2611
Vladimir Dragović, Milena Radnović, “Caustics of Poncelet Polygons and Classical Extremal Polynomials”, Regul. Chaotic Dyn., 24:1 (2019), 1–35
Dragovic V., Radnovic M., “Periodic Ellipsoidal Billiard Trajectories and Extremal Polynomials”, Commun. Math. Phys., 372:1 (2019), 183–211
Božidar Jovanović, Vladimir Jovanović, “Heisenberg Model in Pseudo-Euclidean Spaces II”, Regul. Chaotic Dyn., 23:4 (2018), 418–437
Radnovic M., “Topology of the Elliptical Billiard With the Hooke'S Potential”, Theor. Appl. Mech., 42:1 (2015), 1–9
Jovanovic B., Jovanovic V., “Geodesic and Billiard Flows on Quadrics in Pseudo-Euclidean Spaces: l-a Pairs and Chasles Theorem”, Int. Math. Res. Notices, 2015, no. 15, 6618–6638
Jovanovic B., “The Jacobi-Rosochatius Problem on an Ellipsoid: the Lax Representations and Billiards”, Arch. Ration. Mech. Anal., 210:1 (2013), 101–131
В. Драгович, М. Раднович, “Интегрируемые биллиарды и квадрики”, УМН, 65:2(392) (2010), 133–194; V. Dragović, M. Radnović, “Integrable billiards and quadrics”, Russian Math. Surveys, 65:2 (2010), 319–379
Abenda S., Grinevich P.G., “Periodic billiard orbits on n-dimensional ellipsoids with impacts on confocal quadrics and isoperiodic deformations”, J Geom Phys, 60:10 (2010), 1617–1633
The Mathematica GuideBook for Symbolics, 2006, 978
Abenda S., Fedorov Y., “Integrable ellipsoidal billiards with separable polynomial potentials”, Equadiff 2003: International Conference on Differential Equations, 2005, 687–692