Аннотация:
Строится семейство явных разностных схем на пятиточечном шаблоне для численного решения линейного уравнения переноса. Анализ свойств разностных схем проводится в пространстве неопределенных коэффициентов. Такие пространства впервые были введены в рассмотрение А. С. Холодовым. Для исследования свойств разностных схем ставилась задача линейного программирования. В качестве целевой функции обычно рассматривался коэффициент при главном члене невязки. Для построения монотонных разностных схем ставилась задача оптимизации с ограничениями типа неравенств. Ограниченность такого подхода становится ясной с учетом того, что аппроксимация разностной схемы определяется лишь на классических (гладких) решениях дифференциальной задачи.
В соответствие разностной схеме ставится некоторый функционал, определяющий свойства разностной схемы. Функционал должен быть линейным по коэффициентам схемы. Возможно, что функционал зависит от сеточной функции — решения разностной задачи или проекции на сетку решения дифференциальной задачи. Если первые члены разложения в ряд Тейлора этого функционала по сеточным параметрам совпадут с условиями классической аппроксимации, такой функционал будем называть обобщенным условием аппроксимации. В статье показано, что такие функционалы существуют. Для линейного уравнения с постоянными коэффициентами построение такого функционала возможно и для обобщенного (негладкого) решения дифференциальной задачи.
Построение разностной схемы с заданными свойствами тогда опирается на решение задачи поиска минимума функционала.
Построены семейства функционалов как для гладких решений исходной дифференциальной задачи, так и для обобщенных решений. Построены новые разностные схемы, основанные на анализе функционалов методами линейного программирования. При этом использован аппарат исследования пары самодвойственных задач линейного программирования. Найдена оптимальная монотонная разностная схема, обладающая первым порядком аппроксимации на гладком решении. Обсуждается возможность применения построенных новых схем для построения гибридных разностных схем повышенного порядка аппроксимации на гладких решениях.
Приводится пример численной реализации простейшей разностной схемы с обобщенной аппроксимацией.
Поступила в редакцию: 28.01.2018 Исправленный вариант: 09.03.2018 Принята в печать: 14.03.2018
Тип публикации:
Статья
УДК:519.6
Образец цитирования:
А. И. Лобанов, “Разностные схемы для уравнения переноса, удовлетворяющие обобщенному условию аппроксимации”, Компьютерные исследования и моделирование, 10:2 (2018), 181–193
\RBibitem{Lob18}
\by А.~И.~Лобанов
\paper Разностные схемы для уравнения переноса, удовлетворяющие обобщенному условию аппроксимации
\jour Компьютерные исследования и моделирование
\yr 2018
\vol 10
\issue 2
\pages 181--193
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/crm158}
\crossref{https://doi.org/10.20537/2076-7633-2018-10-2-181-193}
Образцы ссылок на эту страницу:
https://www.mathnet.ru/rus/crm158
https://www.mathnet.ru/rus/crm/v10/i2/p181
Эта публикация цитируется в следующих 3 статьяx:
Ilya V. Basharov, Aleksey I. Lobanov, Smart Innovation, Systems and Technologies, 215, Smart Modelling for Engineering Systems, 2021, 151
А. И. Лобанов, Ф. Х. Миров, “Разностные схемы для уравнения переноса со стоком на основе анализа в пространстве неопределенных коэффициентов”, Матем. моделирование, 32:9 (2020), 53–72; A. I. Lobanov, F. H. Mirov, “Difference schemes for drain transfer equation based on space of undefined coefficients analysis”, Math. Models Comput. Simul., 13:3 (2021), 395–407
А. И. Лобанов, Ф. Х. Миров, “Гибридная разностная схема с обобщенным условием аппроксимации. Анализ в пространстве неопределенных коэффициентов”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 58:8 (2018), 73–82; A. I. Lobanov, F. Kh. Mirov, “A hybrid difference scheme under generalized approximation condition in the space of undetermined coefficients”, Comput. Math. Math. Phys., 58:8 (2018), 1270–1279
Цитирование в формате AMSBIB
Обратная связь: