О тригонометрической сумме по модулю разбиения вещественной оси

Найдена оценка тригонометрической суммы вида
$$S=\sum_{a<t_s\leq b}e^{2\pi if(t_s)},$$
где $a\geq 0,a\leq b$ — вещественные числа, $t_s$ — возрастающая к бесконечности последовательность неотрицательных чисел, $f(t)$ — гладкая вещественная функция.
Здесь также доказываются аналоги формул Эйлера, Сонина, Пуассона и ван дер Корпута для рассматриваемой суммы.
Пусть задана последовательность $\Delta$ точек
$$0=t_0<t_1<t_2<\dots<t_s<\dots, \lim\limits_{n\to\infty}t_n=+\infty,$$
на положительной полуоси вещественной прямой.
Для неотрицательного числа $x$ определим аналог целой части $[x]_{\Delta},$ отвечающий последовательности $\Delta: [x]_{\Delta}=t_s,$ если $t_s\leq x<t_{s+1}, s\geq 0.$ Дробная часть $\{x\}_{\Delta}$ определяется равенством
$$\{x\}_{\Delta}=\frac{x-t_s}{t_{s+1}-t_s},$$
если $t_s\leq x<t_{s+1}, s\geq 0,$ причём $0\leq\{x\}_{\Delta}<1.$
Определим аналог функции Бернулли, отвечающий последовательности $\Delta: \rho_\Delta(x)=$ $=0,5-\{x\}_\Delta$.
Тогда справедлив следующий аналог теоремы ван дер Корпута для разбиений. Пусть $\Delta=\{t_s\}, 0=t_0<t_1<\dots<t_s<\dots,$ — разбиение полуоси $t\geq 0$ вещественной прямой, $\delta_s=t_{s+1}-t_s\geq 1, \delta(a,b)=\max\limits_{a\leq x\leq b}{\rho'_{\Delta}(x)}$ и пусть задана последовательность $\Delta_0=\{\mu_s\}, \mu_s=0,5(t_s+t_{s+1}), s\geq 0,$ и точки $a,b\in\Delta_0,$ пусть, также, $f'(x)$ является непрерывной, монотонной и знакопостоянной функцией в промежутке $a< x\leq b,$ причём найдётся постоянная $\delta$ такая, что $0<2\delta\delta^{-1}(a,b)<1$ и что для всех $x$ из этого промежутка справедливо неравенство $|f'(x)|\leq\delta.$ Тогда имеем
$$\sum_{a<t_s\leq b}e^{2\pi if(t_s)}=\int\limits_{a}^{b}\rho'_\Delta(x)e^{2\pi if(x)} dx+10\theta\frac{\delta}{1-\delta\delta^{-1}(a,b)}, |\theta|\leq 1.$$