Об одной теореме о среднем значении кратных тригонометрических сумм

Доказана теорема о среднем для кратных тригонометрических сумм, обобщающая теорему Г. И. Архипова [12, 13]. Первая теорема подобного типа лежит в сердцевине метода И. М. Виноградова [2]. В работе найден вариант теоремы с "равноправными" длинами промежутков изменения переменных. Интересным приложением метода И. М. Виноградова являются оценки дзетовых сумм вида
$$\sum_{n\leq P}n^{it}.$$
Подобным приложением теоремы о среднем, доказанной нами, служат оценки сумм вида
$$\sum_{n\leq P_1}\dots\sum_{n\leq P_r}(n_1\dots n_r+k)^{it}, \sum_{n\leq P}\tau_s(n)(n+k)^{it}, \sum_{p\leq P}(p+k)^{it}.$$