Теорема о среднем для неполных рациональных тригонометрических сумм

При $2k>0.5n(n+1)+1$ $0\leq l\leq 0,5k-w-1, w=[\ln n/\ln p,]$ доказана асимптотическая формула для числа решений системы сравнений
$$\left\{ \begin{array}{l} x_1+\dots+x_k\equiv y_1+\dots +y_k\pmod{p^m} \ \dots\qquad\dots\qquad\dots\qquad\dots\qquad \ x_1^n+\dots+x_k^n\equiv y_1^n+\dots +y_k^n\pmod{p^m}, \end{array} \right.$$
где неизвестные $x_1,\dots ,x_k,y_1,\dots,y_k$ пробегают значения от $1$ до $p^{m-l}$ из полной системы вычетов по модулю $p^{m}.$
При $2k\leq 0.5n(n+1)+1$ найденная формула не имеет места.
Пусть $1\leq s<r<\dots <n, s+r+\dots +n<0.5n(n+1), 0\leq l\leq 0,5k-w-1.$ Тогда при $2k>s+r+\dots +n$ для числа решений системы сравнений
$$\left\{ \begin{array}{l} x_1^s+\dots+x_k^s\equiv y_1^s+\dots +y_k^s\pmod{p^m} \ x_1^r+\dots+x_k^r\equiv y_1^r+\dots +y_k^r\pmod{p^m} \ \dots\qquad\dots\qquad\dots\qquad\dots\qquad\ x_1^n+\dots+x_k^n\equiv y_1^n+\dots +y_k^n\pmod{p^m}, \end{array} \right.$$
где неизвестные $x_1,\dots ,x_k,y_1,\dots,y_k$ принимают значения от $1$ до $p^{m-l}$ из полной системы вычетов по модулю $p^m,$ найдена асимптотическая формула. Эта формула не имеет места при $2k\leq s+r+\dots +n.$