О полных рациональных тригонометрических суммах и интегралах

Найдены асимптотические формулы при $m\to\infty$ для числа решений системы сравнений вида
$$g_s(x_1)+\dots +g_s(x_k)\equiv g_s(x_1)+\dots +g_s(x_k)\pmod{p^m}, 1\leq s\leq n,$$
где неизвестные $x_1,\dots ,x_k,y_1,\dots ,y_k$ могут принимать значения из полной системы вычетов по модулю $p^m,$ а степени многочленов $g_1(x),\dots ,g_n(x)$ не превосходят $n.$ Указаны такие многочлены $g_1(x),\dots ,g_n(x),$ для которых эти асимптотики справедливы при $2k>0,5n(n+1)+1,$ а при $2k\leq 0,5n(n+1)+1$ данные асимптотики не имеют место.
Кроме того, для многочленов $g_1(x),\dots ,g_n(x)$ с вещественными коэффициентами, причем степени многочленов не превосходят $n,$ найдена асимптотика среднего значения тригонометрических интегралов вида
$$\int\limits_0^1e^{2\pi if(x)}, f(x)=\alpha_1g_1(x)+\dots +\alpha_ng_n(x),$$
где осреднение ведётся по всем вещественным параметрам $\alpha_1,\dots ,\alpha_n.$ Эта асимптотика справедлива при степени осреднения $2k>0,5n(n+1)+1,$ а при $2k\leq 0,5n(n+1)+1$ она не имеет места.